Hallo,

es gilt

$$\cos^2(2x)=1-\sin^2(2x)$$

Das ist der trigonometrische Pythagoras. Weiter gilt:

$$1-\sin^2(2x)=1-4\sin^2(x)\cos^2(x)$$

Dabei wurde benutzt, dass:

$$\sin^2(2x)=\Bigl(\sin(2x)\Bigr)^2=\Bigl(2\sin(x)\cos(x)\Bigr)^2=4\sin^2(x)\cos^2(x)$$

und das wiederum gilt, wegen

$$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x).$$

Das ist ein elementares Additionstheorem. Wir haben also bisher:

$$\cos^2(2x)=1-4\sin^2(x)\cos^2(x)$$

Erneutes Anwenden des trigonometrischen Pythagoras liefert:
$$1-4\sin^2(x)\cos^2(x)=1-4\sin^2(x)\Bigl(1-\sin^2(x)\Bigr)=1-4\sin^2(x)+4\sin^4(x)$$

Ich hoffe das ist ausführlich genug und eine Alternativlösung ohne Substitution! :)