Hallo!

Dir sollte auffallen, dass dies an sich alles Kompositionen stetiger Funktionen sind. Stetigkeit bedeutet aber auch, dass kein „Sprung“ (sehr grob gesprochen) vorliegt.

Wenn wir aber

\(\displaystyle  \lim_{x\to 1^-}f(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x\to 1+} f(x)\) anschauen, so „springt“ die Funktion an jener Stelle. Wenn man aber den kritschen Wert \(\displaystyle  x\to 2\) betrachtet, so stellt dieser keinen Sprung da (Folgen-Kriterium \(\displaystyle  \lim_{n\to\infty} a_n =: a, \quad f(a) = \lim_{n\to\infty} f(a_n) = f\left(\lim_{n\to\infty} a_n\right)\), so liegt Stetigkeit im Punkt \(\displaystyle  a\) vor; kein Sprung).

Bemerkung. Hier siehst Du also, dass wir uns von links nach rechts durcharbeiten und so die verschiedenen Fallunterschiedungen tätigen. Wir gehen also von einer Funktion zur anderen …

Gruß.

Hallo,

du hast eine "zusammengeklebte" Funktion. Deine Funktion besteht aus drei (jeweils für sich genommen stetige) Funktionen, die an den Stellen \(-1\) und \(2\) "geklebt" sind. Deswegen brauchst du dir keine Sorgen um Stetigkeit abgesehen von den Klebestellen zu machen. Die \(8\) ist weit weg von den Klebestellen \(-1\) und \(2\), deswegen brauchst du die nicht zu betrachten.

Wenn du jetzt Klebestellen auf Stetigkeit überprüfst, also da wo je zwei deiner Funktionen zusammentreffen, musst du die Funktionswerte an diesen Stellen anschauen:

$$f_1(-1)=\frac{1}{(-1)^2}=1\neq -1=(-1)^3=f_2(-1)$$

Die erste Klebestelle \(-1\) ist eine Unstetigkeitsstelle. Deine Funktion "springt" von \(1\) zu \(-1\). Die Bezeichnungen \(f_1\) und \(f_2\) sind jeweils für die erste und zweite Funktion die geklebt wird.

Nun zur zweiten Stelle:

$$f_2(2)=2^3=8=2\cdot2+4=f_3(2)$$

Diese Stelle ist keine Unstetigkeitsstelle. Flapsig gesprochen wurde da "richtig zusammengeklebt", also so, dass keiner merkt, dass hier geklebt wurde, wenn er die Funktion sieht :P

Ich hoffe diese etwas intuitivere Herangehensweise hat dir geholfen! :)