E-Funktion vereinfachen

Erste Frage Aufrufe: 691     Aktiv: 27.06.2019 um 21:11
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Guten Abend,

ich soll den Shift-Operator \Phi mit \Phi[f] := f(t-1) anwenden auf:

\(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\) + \(e^{-t \cdot ln(2)}\)

Laut meiner Lösung kann ich das vereinfach zu:

\(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\) + 2\(\cdot\) \( (1/2)^t \)

Der Zweite Teil ist mir soweit klar. Kann mir jmd erklären, warum ich \(e^{2 \pi \cdot i \cdot (t-1)}\) vereinfach kann zu \(e^{2 \pi \cdot i \cdot t} \)

Besten Gruß

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Student, Punkte: 10

 
Du kannst Malpunkte mit \cdot schreiben und mit \*( \*) ohne Sterne deine Formelklammern machen! :)   ─   endlich verständlich 27.06.2019 um 20:44
Du hast bei der e-Funktion auch zweimal das gleiche geschrieben, weswegen mir deine Frage unklar ist. :P   ─   endlich verständlich 27.06.2019 um 20:45
Die Vereinfachung gilt nach Anwendung des Operators. Meine Frage lautet also wieso kann ich \(e^{2 \pi \cdot i \cdot (t−1)}\) vereinfachen zu: \(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\)
  ─   neresca 27.06.2019 um 20:48
Du musst dein pi so schreiben \pi und eine Leerzeile dazwischen lassen :)   ─   endlich verständlich 27.06.2019 um 20:49
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Hallo!

 

Vereinfache doch zunächsteinmal den Ausdruck an sich:

 

\(\displaystyle \mathrm{e}^{2\pi\cdot i\cdot t} + \mathrm{e}^{-t\cdot\ln(2)} = 1 + 2^{-t} \).

 

Anmerkung: Es ist offenkundig, dass \(t\in\mathbb{Z}\) ist.

 

Gruß.

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.57K

 
Auch hier ist mir nicht klar, warum ich den ersten Teil vereinfachen kann zu (-1)^t . Möglicherweise fehlt mir da Grundlagenwissen.   ─   neresca 27.06.2019 um 20:53
Du musst bei der e-Funktion aufpassen. Erstens ist \(e^{2\pi i}=1\) und zweitens könnte \(t\) ja erstmal aus einer beliebigen Zahlenmenge sein und somit möglicherweise reell oder komplex sein! :)   ─   endlich verständlich 27.06.2019 um 20:53
P.S.: Also das muss man dann schon wissen, dass ich mich hier auf ganzzahliges \(t\) beziehe …   ─   einmalmathe 27.06.2019 um 20:55
Ich denke mit den Infos komme ich weiter. Besten Dank. Ich werde mal versuchen meine Formeln leserlich anzupassen ;)   ─   neresca 27.06.2019 um 20:58

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Hallo,

es gilt:

$$e^{2\pi\cdot i}=1.$$

Damit musst du aber sehr aufpassen, wenn noch mehr im Exponenten steht, denn sonst passieren dir schlimme Dinge:

$$-1=e^{\pi\cdot i}=e^{\frac{2}{2}\pi\cdot i}=(e^{2\pi\cdot i})^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1$$

und das ist offensichtlich falsch, obwohl erstmal vielleicht nicht klar ist, was schief gelaufen ist. Wenn in der \(e\)-Funktion \(2\pi i\) alleine steht, ist alles gut, aber wenn da irgendwas dran multipliziert wird, gelten nicht alle bekannten Umformungsschritte der \(e\)-Funktion! :)

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Student, Punkte: 2.6K

 

Ja, genau sowas meine ich, aber sowas ist Grundlagenwissen und ich erläutere ja nicht alles bis ins kleinste Detail … aber sehr gute Antwort, von mir ein Upvote!
   ─   einmalmathe 27.06.2019 um 21:02
Naja, er hatte ja gefragt, was man mit dem \(e^{2\pi i}\) anstellen kann, deswegen wollte ich ihm das noch mit auf den Weg geben, weil ich das selbst lange Zeit falsch gemacht habe. :P   ─   endlich verständlich 27.06.2019 um 21:03
Ich finde es auch gut erklärt, ich wollte nur sagen, dass ich davon ausgegangen bin, dass er dies schon wusste … aber nichts desto trotz ist die Antwort Spitze!   ─   einmalmathe 27.06.2019 um 21:04

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