Hier die Funktion: \(f(t) = 1 + 2 \cdot sin(2t + \pi) \)
Funktionsterm lässt sich "vereinfachen" zu \(f(t) = 1 - 2 \cdot sin(2t) \)
VARIANTE 1
1. Ableiten
Die \(1\) fällt weg. Die Konstante in dem Produkt bleibt erst einmal stehen und wir kümmern uns um die Ableitung von \(sin(2t)\)!
Nach der Kettenregel: \(2cos(2t)\)
$$f'(t) = -4cos(2t)$$
2. Die Ableitung mit \(0\) gleichsetzen!
$$-4cos(2t) = 0$$
3. Nach \(t\) umstellen!
$$cos(2t) = 0$$
$$2t = arccos(0)$$
$$2t = \frac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{N}$$
$$t = \frac{\pi}{4} + 0.5k\pi | k \in \mathbb{N}$$
4. Erneut ableiten
$$f'(t) = -4cos(2t)$$
Konstante \(-4\) wieder außen vor lassen und \(cos(2t)\) ableiten!
$$f''(t) = -4 \cdot -sin(2t) \cdot 2 = 8sin(2t)$$
5. Eins der möglichen \(t\) einsetzen!
$$f''(\frac{\pi}{4}) = 8sin(\frac{\pi}{2}) = 8 \cdot 1 = 8$$
Da bei \(t = \frac{\pi}{4}\) eine positive Zahl rauskam, ist an dieser Stelle ein Tiefpunkt.
6. Durch einfache Überlegung wirst du erkennen, dass alle Tiefpunkte deiner Funktion nur einen Funktionswert von \(-1\) haben können.
7. Da sich Hoch- und Tiefpunkte abwechseln, kannst du nicht jedes t, sondern nur jedes zweite nehmen!
8. Damit sind deine Tiefpunkte: \(E_{t} = (\frac{\pi}{4} + k\pi | -1)\)!
VARIANTE 2
1. Du erkennst, dass alle Tiefpunkte einen Funktionswert von \(-1\) haben.
2. Setze deinen Funktionsterm mit \(-1\) gleich!
$$1 + 2sin(2t + \pi) = -1$$
3. Stelle nach \(t\) um!
$$2sin(2t + \pi) = -2$$
$$sin(2t + \pi) = -1$$
$$2t + \pi = arcsin(-1)$$
$$2t + \pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$
$$2t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$
$$t = \frac{\pi}{4} + k\pi$$
4. Damit sind deine Tiefpunkte: \(E_{t} = (\frac{\pi}{4} + k\pi | -1)\)!
Hier noch ein Bild zum Verständnis:
Schüler, Punkte: 140
Nun die Hochpunkte haben bei deiner Funktion alle einen Funktionswert von 3 nicht 1. Da ja der Sinus den Faktor 2 hat und um 1 nach oben verschoben ist.
─ nc_grmm 29.06.2019 um 01:05
Du kannst nicht einfach den Sinus 'wegkürzen'. ─ maccheroni_konstante 29.06.2019 um 01:12
1+2sin(2t+Pi )=1 | -1
2sin (2t +Pi) = 0 | :2
sin (2t+Pi)=0
(2t+Pi)=0
t= -Pi/2
aber das stimmt ja so nicht?
wo mache ich einen Denkfehler ? ─ anonyme153a 28.06.2019 um 13:07