Moin!

Um die Aufgabe ersteinmal zu verstehen hilft es sich ersteinmal eine Skizze zu erstellen.

Berechnen wir zunächst nun ersteinmal den gesamten Flächeninhalt.

\(A=\int\limits_{ 0 }^{ 2 }{x^2 \mathrm{dx} }=(\dfrac{1}{3}2^3)-(\dfrac{1}{3}0^3)=\dfrac{8}{3}\)

Gesucht ist nun die Gerade \(g\), die die Fläche in zwei gleich große Teile halbiert. Also gilt:

\(\int\limits_{ 0 }^{ g }{x^2\mathrm{dx} }=\dfrac{A}{2}\)

Da wir den Flächeninhalt schon kennen lässt sich \(g\) nun ganz leicht bestimmen.

Ich komme auf \(g: x=\sqrt[3]{ 4 }\). Wie sieht dein Ergebnis aus?

Grüße

Sich den Sachverhalt grafisch darzustellen ist oftmals hilfreich.

Zuerst wird der Flächeninhalt zwischen der Parabel und der x-Achse in den Grenzen 0 bis 2 berechnet.

\(\displaystyle\int\limits_0^2 x^2\, dx = \left [\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{8}{3}\)

Nun soll dieser halbiert werden, weshalb gelten muss \(\displaystyle\int\limits_0^a x^2\, dx =\dfrac{4}{3}\)

Mithilfe der HDIs lässt das das bestimmte Integral wieder mithilfe der Stammfunktionen berechnen.

\(F(a)-F(0)=\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \dfrac{a^3}{3}-0=\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow a^3=4 \Leftrightarrow a=\sqrt[3]{4}\)

Probe: \(\displaystyle\int\limits_0^{\sqrt[3]{4}} x^2\, dx = \dfrac{4}{3}\)