Aufgabe:

Ermitteln Sie die allgemeine Lösung für 3y‘‘(t) + 9y(t) = 0

Problem/Ansatz:

Als erstes habe um die PQ-Formel anzuwenden die Gleichung durch 3 geteilt:

y‘‘(t) + 9y(t) = 0

Diese dann durch PQ-Formel gelöst:

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 0}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}  $$

$$ \frac{-3}{2} \pm \frac{3}{2}  $$

$$ y_1 = 0 $$

$$ y_2 = -3 $$

Anschließend habe ich es wie folgt eingesetzt:

$$ y(t) = c_1e^{y_1x} + c_2e^{y_2x} $$

$$ y(t) = c_1e^{0x} + c_2e^{-3x} $$

$$ y(t) = c_1 + c_2e^{-3x} $$

In meiner Lösungsskizze steht völlig was anderes als Lösung:

$$ Lösung: y(t) = c_1e^{-i\sqrt{3}t} + c_2e^{i\sqrt{3}t} $$

Wo mache ich hier was falsch? Wieso ist die Lösung in der Lösungsskizze eine komplexe Zahl?