Du hast \(x'(t) = t\cdot \cos(t)\)

Um auf \(x(t)\) zu kommen liegt es nahe, zu integrieren.

\(\displaystyle\int x'(t) \, dt= \displaystyle\int t\cdot \cos(t) \, dt\)

Das schreit förmlich nach partieller Integration. Man erhält \([t \cdot \sin(t)] - \displaystyle\int \sin (x)\, dx = t\cdot \sin(t) + \cos(t) +C_1\)

Nun noch die Anfangsbedingung einsetzen:

\(x(0)=\dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow 0\cdot \sin(0) + \cos(0) +C_1 = \dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow C_1 = \dfrac{\pi}{4}-1\)

Die finale Funktion lautet somit \(x(t)=t\cdot \sin(t)+\cos(t)+\dfrac{\pi}{4}-1\).