Binomialkoeffizient

Aufrufe: 905     Aktiv: 12.07.2019 um 01:36
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Hallihallo,

ich soll eine Summe von einem Binomialkoeffizienten ausrechnen. Der Taschenrechner kann das natürlich aber ich bräuchte dafür auch einen Rechenweg, damit ich es quasi auch im Kopf rechnen könnte.

\sum_{k=1}^7 7 über k

Gibt es da irgendwie einen Kniff damit ich nicht hier jede einzelne Zahl einsetzen muss?

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gefragt

Student, Punkte: 10

 
Dein Code ist nicht richtig. Du meinst wohl:

$$\sum_{k=1}^{7}\binom{7}{k}$$

Richtig?   ─   jake2042 12.07.2019 um 01:36
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1 Antwort
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Es gilt $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n. $$ Folglich gilt für Deine Aufgabe: $$ \sum_{k=1}^7 \binom{7}{k} = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} - \sum_{k=0}^0 \binom{7}{k} = 2^7 - 2^0 = 128 - 1 = 127.$$

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geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 640

 
*127   ─   maccheroni_konstante 04.07.2019 um 14:13
Wie soll \( 2^7 \) ungerade sein, oder was meinst Du?   ─   dreszig 04.07.2019 um 14:14
Die 127 ist ja richtig, da die Grenzen ja 1 und 7 sind, da gabs einen kleinen Fehler, Doch wenn ich \sum_{k=3}^15 15 über k ist das 32647, doch wie ist der Rechenweg   ─   wombombe 04.07.2019 um 14:23
Ups, ich meinte gelesen zu haben, dass 0 die untere Grenze sei. Sorry! In Deinem neuen Fall gilt analog zur korrigierten Fassung oben:
\( \sum_{k=3}^{15} \binom{15}{k} = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} = 32768 - 4 = 32764 \).   ─   dreszig 04.07.2019 um 14:38
Kurze Frage, wahrscheinlich steh ich auf dem Schlauch, aber woher bekomm ich denn die 2 der zweiten Summe dann   ─   wombombe 04.07.2019 um 15:12
Wenn Du von \(\displaystyle 0\) bis \(\displaystyle 15\) aufsummierst und Du ziehst die ersten zwei Glieder wieder ab, so zählst Du quasi nur von \(\displaystyle 3\) bis \(\displaystyle 15\) …   ─   einmalmathe 04.07.2019 um 15:27

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