Annahme: mit \( (\mathbb{N}, < ) \) ist die allseits bekannte Ordnungsrelation gemeint, ebenso auf den ganzen Zahlen.

Die Antwort (also der genaue Beweis) hängt ein wenig davon ab, ob \( 0 \in \mathbb{N} \). Ich gehe mal von der Konvention \( 0 \not\in \mathbb{N} \) aus, so dass die 1 die kleinste natürliche Zahl ist.

Angenommen es gäbe einen solchen Epimorphismus \( \varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \), d.h. \( \varphi \) ist surjektiv und für alle natürlichen Zahlen a und b mit \( a < b \) gilt \( \varphi (a) < \varphi (b) \) bzw. äquivalent \( \varphi(a) \geq \varphi(b) \Rightarrow a \geq b \)

Sei dann \( z \in \mathbb{Z} \) definiert als \( z := \varphi(1) \). Weil \( \varphi \) surjektiv ist, gibt es eine natürliche Zahl n mit \( \varphi(n) = z - 1 \).

Wegen \( z \geq z-1 \) folgt also \( \varphi(1) \geq \varphi(n) \) und daher \( 1 \geq n \). Da n aber eine natürliche Zahl ist, muss \( 1 = n \) gelten, da es keine kleiner natürliche Zahl gibt als die 1. Wenn aber 1 = n, dann ist auch \( \varphi(1) = \varphi(n) \) und daher \( z = z - 1 \). Ein Widerspruch.

Kurz gesagt kann es keinen Epimorphismus geben, weil die ORdnungsrelation auf \( \mathbb{N} \) ein kleinestes Element besitzt, auf \( \mathbb{Z} \) hingegen nicht.