Guten Abend,

zunächst stellst Du die Matrix auf und versuchst sie zu lösen. Wenn Du im ersten Schritt in der zweiten Zeile die erste addierst, siehst Du, dass zweite und dritte Zeile übereinstimmen. Dies ist ein Indiz, eine Variable frei zu belegen.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Wie bei Dir gilt nun \( x - \frac{5}{3} z = 0 \) sowie \( y + \frac{2}{3} z = 0 \). Sei nun \( z = \lambda \in \mathbb{R} \) und es kommt Deine Lösung heraus.