Nachweisen, dass Menge U ein Untervektorraum ist...

Erste Frage Aufrufe: 993     Aktiv: 13.07.2019 um 10:40
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Hallo zusammen, 

ich habe eine Frage. Ich arbeite gerade mit Matrizen, Kern, Bild, usw... Nun habe ich eine Frage da ich nicht genau weiß, wie ich das beantworten soll. Vielleicht kann mir bitte jemand weiterhelfen:

Gegeben ist eine Menge U von Vektoren im R^3 wie folgt:

U = { (2a, 3b, a+b)^t | a,b Element R}

a) Weisen Sie nach, dass die Menge U ein Untervektorraum des R^3 ist?

 

im Prinzip hab ich ja schon zwei vektoren gegeben: a*(2, 0, 1)^t + b*(0, 3, 1)^t  

aber wie weise ich das jetzt genau nach? benötige ich "einfach" einen dritten lin. unabhängigen Vektor? Den könnte ich ja selbst bestimmen. 

 

Sorry für den vielen Text aber es ist etwas schwer zu erklären. Vielleicht kann mir ja jemand einen kleinen Denkanstoß geben... 

 

Vielen Dank

DAni

 

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Guten Abend,

ich nehme zunächst an, dass ein Vektorraum bezüglich der üblichen Addition gemeint ist. Am einfachsten kann man es wohl mittels des Unterraumkriteriums zeigen. Wähle hierfür zwei Vektoren \( u = (2k, 3l, k+l)^t, v=(2m, 3n, m+n)^t\) mit \(k,l,m,n \in \mathbb{R}\).

Das Unterraumkriterium sagt aus: \((\forall u,v \in U \Rightarrow u + v^{-1} \in U) \Leftrightarrow U \text{ ist Untervektorraum}\) bezüglich der gewählten Operation (in dem Fall der üblichen Addition).

Zeige nun, dass \(u + v^{-1} \in U\) gilt, indem du nachweist, dass \(u + v^{-1}\) die geforderte Struktur \((2a, 3b, a+b)^t\) mit \(a,b \in \mathbb{R}\) hat.

Versuch dich mal und zeig gern das Ergebnis. :)

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