Erzeugendensystem

Aufrufe: 1155     Aktiv: 18.07.2019 um 10:03
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hallo!

ich würde gerne wissen was ein minimales und maximales Erzeugendensystem (EZS) ist. 

ich bin mir nicht sicher, ob das minimale EZS vorliegt, wenn das erzeugenden System z.B. Im R^3 nur aus 3 unabhängigen Vektoren besteht und somit eine Basis bilden.

für das maximale EZS dachte ich, wäre wenn z.b. Im R^3 das EZS aus 3 unabhängigen Vektoren besteht aber es trotzdem noch weitere Vektoren geben kann die linear abhängig sind.

 

und dann hatte ich bei einer Übung folgende Aufgabe, die ich nicht verstanden habe:

jeder Vektorraum hat (bzgl. Der Inklusion) maximales EZS.

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Student, Punkte: 118

 
Hey malro,

ein minimales Erzeugendensystem ist, wie du schon richtig gemerkt hast, die größte Menge unabhängiger Vektoren, die deinen Raum aufspannt, und wird dann Basis genannt. Nimmst du weniger Vektoren erhälst du in der Aufspannung niemals den ganzen Raum.

Wenn du dem Erzeugendensystem weitere Vektoren hinzufügst, erhälst du mit Sicherheit lineare Abhängigkeit. Das widerspricht aber nicht der Definition eines Erzeugendensystems, denn die Vektoren spannen weiterhin deinen Raum auf. Als maximales Erzeugendensystem kannst du deswegen sogar den Raum selbst nehmen, da er sich selbst aufspannt.
Dieses EZS ist dann maximal, da ein weiterer hinzugefügter Vektor nicht aus dem Raum wäre und damit das EZS einen größeren Raum aufspannen würde.

Frag gern nochmal nach, wenn ich etwas vergessen habe oder du etwas anders meintest.   ─   jojoliese 17.07.2019 um 12:00
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Also könnten im maximalen EZS im R^3 weitere linear abhängige und unabhängige Vektoren liegen als nur die 3 unabhängigen Vektoren die liegen müssen, damit es überhaupt ein EZS ist oder?

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Student, Punkte: 118

 
ganz genau :)
aber weitere unabhängige gibt es nicht, nur noch abhängige   ─   jojoliese 18.07.2019 um 10:03

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