Bruchungleichung mit Betrag und x^2

Aufrufe: 816     Aktiv: 25.07.2019 um 12:18
3

Ich bereite mich gerade auf meine Matheklausur vor und habe 3 Aufgaben des gleichen Typs, bei denen ich aber Schwierigkeiten habe (da wir solche Beispiele natürlich nicht in der Vorlesung oder Übung hatten...).

Aufgabe1 \(\frac {\vert 3x+1\vert} {x^2+1} \ge 1\)

Aufgabe2 \(\frac {\vert 2x+2\vert} {x^2-1} \ge 1\)

Aufgabe3 \(\frac {\vert 4x+1\vert} {x^2+1} \ge 1\)

Die Aufgaben habe ich auch angefangen zu bearbeiten. Bei den Brüchen mit \(x^2+1\) im Nenner und x aus den reellen Zahlen gibt es ja keine Möglichkeit, in der der Nenner negativ oder gleich 0 wird, bei dem Fall mit -1 schon. Ansonsten habe ich bei dem Betrag die Fälle \(\ge 0\) und < 0, die ich beachten muss. Ich habe dann immer erst mal mit dem Nenner multipliziert und weiß nicht, ob ich dann nochmal - den Nenner machen soll, sodass ich auf einer Seite eine quadratische Funktion habe und auf der anderen 0? Oder denke ich da zu einfach? Und woher weiß ich bei solchen Aufgaben, ob ich ggf. mit einer negativen Zahl multipliziere? Hängt das von den Intervallen ab, in denen sich x befindet?

Ich wäre dankbar, wenn mir jemand weiter helfen kann :)

Diese Frage melden
gefragt
inaktiver Nutzer

 
Wenn eine Parabel \(\displaystyle p(x)\) zwei Nullstellen \(\displaystyle \xi_1\) und \(\displaystyle \xi_2\) besitzt, so gilt: \(\displaystyle \forall x\in(\xi_1,\xi_2): p(x) < 0\). Nun kannst Du mit dieser Überlegung Deine Fragen eigentlich sogar selber beantworten.   ─   einmalmathe 17.07.2019 um 19:06
Dies gilt nicht für alle, nur für nach oben geöffnete Parabeln.   ─   christian_strack 18.07.2019 um 13:25
Habe ich nicht dazu geschrieben, weil ich dachte, dass es schon so klar genug sein sollte.   ─   einmalmathe 18.07.2019 um 13:40
*Wenn \(\displaystyle \forall x in \mathbb{D}\setminus\{[\xi_1,\xi_2]\}\) mit \(\displaystyle \mathbb{D}\subset\mathbb{R}\), dass \(\displaystyle p(x) > 0\), so gilt dann die Aussage. Falls aber die Ungleichung \(\displaystyle < 0\) erfüllt ist, so ist die Parabel im besagten Intervall \(\displaystyle >0\).   ─   einmalmathe 18.07.2019 um 13:42
Ohne das jetzt im einzelnen durchgerechnet zu haben, habe ich eine Vermutung, worauf das hinausläuft. Falls Du bei Deinen Bemühungen, die Ungleichungen nach \(x\) aufzulösen, irgendwann in die Situation kommst, folgendes nach \(x\) auflösen zu müssen:

$$x^{2}+1=0$$

dann solltest Du wissen, dass folgendes gilt:

$$\sqrt{-1}=i$$

Das heißt, Du bist dann gezwungen, mit komplexen Zahlen zu rechnen. Das ist jetzt aber nur so eine Vermutung von mir.

Grüße
jake2042   ─   jake2042 23.07.2019 um 22:29
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

Hallo,

deine Ideen sind soweit richtig. 

Um herauszufinden ob ein Term mit dem du multiplizierst positiv oder negativ ist, oder besser noch um herauszufinden in welchen Intervallen der Term positiv bzw negativ ist, kannst du die Nullstellen berechnen und den Definitionsbereich des Terms durch die Nullstellen in Intervalle einteilen. 
Wenn dir dann noch nicht klar ist in welchen Intervallen der Term positiv bzw. negativ ist nimm ein Element aus dem dem offenen Intervall und setze es ein. 

Am besten probierst du mal die erste zu lösen und postest die Lösung hier rein, dann können wir gucken ob sich noch Unklarheiten auftun. 

Grüße Christian

Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

 

Kommentar schreiben