Hallo princessss,

also, irgendwie sehe ich in der Aufgabe, die Du verlinkt hast, überhaupt kein Problem.

Da sind die großen Bahnhalbachsen der Erde und des Saturns in km angegeben:

\begin{eqnarray*}
\textrm{Erde} & = & 149\,597\,890\:\textrm{km}\\
\textrm{Saturn} & = & 1\,426\,720\,400\:\textrm{km}
\end{eqnarray*}

Die anderen Zahlen in der Tabelle vergiss jetzt einfach mal. Nun kannst Du keinen Zahlenstrahl in Dein Heft zeichnen, der 1,5 Milliarden km lang ist. Deshalb zeichnest Du einen Zahlenstrahl, der die realen Abstände verkleinert wiedergibt, aber die richtigen Relationen zeigt. 

Du zeichnest also einen Zahlenstrahl, der 15 cm lang ist. Der passt in Dein Heft. Welches Verhältnis hast Du jetzt?

15 cm in Deinem Heft entsprechen 1,5 Milliarden km in Wirklichkeit. Das heißt:

1 cm in Deinem Heft entsprechen 100 Millionen km in Wirklichkeit. 100 Millionen ist eine Zahl mit 8 Nullen. Wenn Du zum Beispiel \(10\cdot 10\) rechnest, dann ist das 100. 100 ist eine Zahl mit 2 Nullen. \(10\cdot 10\) entspricht \(10^2\). Vestehst Du, worauf ich hinauswill? \(100\,000\,000\) ist gleich \(10^8\).

Das bedeutet jetzt folgendes: Wenn Du wissen willst, an welchen Punkten von Deinem 15 cm langen Zahlenstrahl Du jetzt die großen Bahnhalbachsen der Erde und des Saturns eintragen musst, dann musst Du einfach das Komma jeweils um 8 Stellen nach links verschieben und km durch cm ersetzen. Das ist das, was in der Aufgabe, die Du verlinkt hast, gemacht worden ist.

Es geht bei der ganzen Aufgabe also darum, große Strecken maßstabsgetreu verkleinert zu zeichnen. So etwas begegnet Dir dauernd, sobald Du zum Beispiel einen Stadtplan oder eine Landkarte in Deinem Schulatlas in die Hand nimmst.

Viele Grüße
jake2042

Hey Jessica,

mein Tipp bei Problemen im Umgang mit physikalischen Einheitsvorsätzen (centi, kilo usw.): der Dreisatz. ;)

Der passt zwar nicht immer und mag vielleicht für erste Umwandlungsprobleme ein wenig unhandlich sein, kann aber dabei helfen, ein Umwandlungsproblem genauer zu verstehen bzw. ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie man mit Umwandlungen zwischen Größen wie \(km\), \(cm\) usw. am besten umgeht.

Hier vielleicht ein kleines Beispiel zur Umwandlung von \(m\) in \(mm\) (eigentlich nicht wirklich anspruchsvoll, aber es soll ja nur der Veranschaulichung dienen).

Wir wissen, dass:

\(1\,mm = 0,001\,m.\)

Frage: Wie viele \(mm\) sind 2 \(m\)?

Vorgehen mit dem Dreisatz:

\(1\,mm = 0,001\,m.\)

Wir teilen durch 0,001, also

\(1000\,mm = 1\,m,\)

und nehmen mal 2, weil wir ja 2 \(m\) haben wollen:

\(\Rightarrow\;2\,m = 2000\,mm.\)

Problem gelöst.

Dein beschriebenes Problem selbst bezieht sicher aber zunächst auf kein klassisches "Umwandlungsproblem" zwischen \(km\) und \(cm\) (also sowas wie "Wie viele \(cm\) hat ein \(km\)?" ), sondern darauf, dass du die Länge in \(km\) auf eine Länge in \(cm\) skalieren musst (d.h. ein Zeichnungsproblem mit einem bestimmten Maßstab auf deinem Zeichenpapier bzw. Zahlenstrahl).

Trotzdem kannst du das gleiche Konzept mit dem Dreisatz auch hier anwenden, wenn du die Größen im gewünschten Maßstab gleichsetzt.
Gefordert ist hier ja, dass \(1\,cm\) auf deinem Zeichenblatt \(10^{8}\,m\) (= 100 Millionen) entsprechen soll.
Gleiches Vorgehen auch hier, also mathematisch formuliert:

\(1\,cm=1\cdot 10^{8}\,m = 100.000.000\,m,\)

bzw. (wenn wir die Gleichung durch \(100.000.000\) teilen):

\(\frac{1}{100.000.000}\,cm=1\,m.\)

Wenn wir das jetzt auf die Größen anwenden, die auf der Website gegeben sind, dann folgt z. B. für die Erde mit einer Halbbahnachse von \(149.597.890\,m\) und durch die passende Multiplikation mit \(149.597.890\) (da wir ja \(149.597.890\,m\) haben wollen):

\(\frac{149.597.890}{100.000.000}\,cm=149.597.890\,m.\)

und somit

\(1.49599789\,cm=149.597.890\,m,\)

d.h. also, dass du für die Halbbahnachse der Erde ein Kreuz bei ungefähr \(1,5\,cm\) auf deinem Zahlenstrahl machen musst. ;)


Man kann die Aufgabe übrigens auch mit Maßstäben rechnen, also mit Verhältnissen zwischen zwei Längen (d.h. einem Bruch).

Der Maßstab \(M\) für das Problem hier wird dann so dargestellt:

\(M=\frac{\text{Länge auf dem Papier}}{\text{Länge in der Realität}}=\frac{x_{\text{Papier}}}{x_{\text{real}}}.\)

Mit Einsetzen von den geforderten Längen \(x_{\text{Papier}}=1\,cm=0,01\,m\;\;\hat{=}\;\;x_{\text{real}}=10^{8}\,km\) folgt:

\(M=\frac{1\,cm}{100.000.000\,km}=\frac{0,01\;m}{100.000.000\;\cdot\;1000\;m}=\frac{1}{10.000.000.000.000}=10^{-13}.\)

Wenn du jetzt damit rechnen und die Länge von z. B. \(x_{\text{real}}=149.597.890\,m,\) auf deinem Papier (\(x_{\text{Papier}}\)) darstellen willst, kannst du das ganz einfach ermitteln:

\(M=\frac{x_{\text{Papier}}}{x_{\text{real}}}\;\Leftrightarrow\;x_{\text{Papier}}=M\cdot x_{\text{real}},\)

und durch Einsetzen:

\(x_{\text{Papier}}=M\cdot x_{\text{real}}=10^{-13}\cdot 149.597.890\,km=10^{-13}\cdot 149.597.890\cdot 1000\,m\approx 0,0149\,m=1.49\,cm.\)

Problem gelöst. :)

Hoffe das hilft, die ganze Nummer ein bisschen besser zu verstehen - im ganzen Rechenwahn mit den Nullen bzw. Dezimalstellen kann man natürlich auch gerne einen Taschenrechner benutzen (sonst wird's ja noch komplizierter als so schon :P ).

Liebe Grüße! ;)

Die Frage von der Jessica war schon gerechtfertigt, denn dieses Beispiel ist in der Angabe schon FALSCH. Der Schmantii hat den Lösungsweg schon richtig dargestellt. Aber die ursprüngliche Lösung ist ja trotzdem falsch, weil der geforderte Skalierungsfaktor nicht 10 hoch 8 sondern 10 hoch 13 heißen müsste. Denn

149.597.890 km : 10 hoch 8 ist immer noch 1,495 km, denn das Komma wird ja bloß um 8 Stellen nach links verschoben. Will man cm darstellen, müsste man von km auf m nochmal um 1000 reduzieren und um auf cm zu kommen nochmal um 100 reduzieren. Daher ist der richtige Skalierungsfaktor 10 hoch 13. Das ist wieder einmal ein typischer Schulbuchfehler! Kommt leider oft vor.

Lg. Peter