Hallo alex105,
es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen. Du kannst mit Wahrscheinlichkeitsbäumen, mit Tabellen und auch mit Formeln arbeiten. Oder mit einer Kombination daraus. Was ich hier vorstellen möchte, ist eine Lösungsmöglichkeit, die mit Tabellen arbeitet. Zunächst bestimmen wir die absoluten Zahlen der Studierenden, die jeweils die Physik- bzw. die Chemieprüfung bestanden haben:
\begin{eqnarray}
\textrm{Physik:}\quad120\cdot0,8 & = & 96\\
\textrm{Chemie:}\quad120\cdot0,7 & = & 84
\end{eqnarray}
Wir wissen außerdem, dass 15 Studierende keine der beiden Prüfungen bestanden haben und dass insgesamt 120 Studierende in beiden Fächern geprüft worden sind (Fallzahl).
Damit wird jetzt eine Vierfeldertafel konstruiert. In diese Vierfeldertafel werden zunächst die bis jetzt bekannten absoluten Häufigkeiten eingetragen. Das sieht dann so aus:
\(
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
&\textrm{Physik nicht bestanden}&\textrm{Physik bestanden}&\textrm{Gesamt}
\\\hline
\textrm{Chemie nicht bestanden}&15& &
\\\hline
\textrm{Chemie bestanden}& & &84
\\\hline
\textrm{Gesamt}& &96&120
\\\hline
\end{array}
\)
Die restlichen Zellen werden aus den bekanntenZahlen heraus ergänzt. Es entsteht die folgende vollständige Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten:
\(
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
&\textrm{Physik nicht bestanden}&\textrm{Physik bestanden}&\textrm{Gesamt}
\\\hline
\textrm{Chemie nicht bestanden}&15&21&36
\\\hline
\textrm{Chemie bestanden}&9&75&84
\\\hline
\textrm{Gesamt}&24&96&120
\\\hline
\end{array}
\)
Damit kann Frage a) bereits beantwortet werden. Von den insgesamt 120 Studierenden haben 75 beide Prüfungen bestanden. Das sind:
$$\frac{75}{120}=0,625=62,5\,\%$$
Frage b) betrifft die Wahrscheinlichkeit, die Chemieprüfung unter der Bedingung bestanden zu haben, dass die Physikprüfung bestanden worden ist. Es geht also um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Deshalb werden in der Tabelle die Randhäufigkeiten »Physik nicht bestanden«, »Physik bestanden« und »Gesamt« jeweils auf 1 gesetzt und dann spaltenweise die relativen Häufigkeiten von »Chemie nicht bestanden« und »Chemie bestanden« bestimmt. Das ergibt die folgende Tabelle:
\(
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
&\textrm{Physik nicht bestanden}&\textrm{Physik bestanden}&\textrm{Gesamt}
\\\hline
\textrm{Chemie nicht bestanden}&0,625&0,219&0,3
\\\hline
\textrm{Chemie bestanden}&0,375&0,781&0,7
\\\hline
\textrm{Gesamt}&1&1&1
\\\hline
\end{array}
\)
Daraus lässt sich erkennen, dass 78,1 Prozent derjenigen, die Physik bestanden haben, auch Chemie bestanden haben. Diese Zahl lässt sich auch anders ermitteln. Bereits aus der Aufgabenstellung bekannt ist die relative Häufigkeit aller Studierenden, die Physik bestanden haben. Sie beträgt 0,8 oder 80 Prozent. Die relative Häufigkeit, die Chemieprüfung und die Physikprüfung zu bestanden zu haben, ist aus Aufgabe a) behḱannt. Sie beträgt 0,625 oder 62,5 Prozent. Nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
$$P\left(\textrm{Chemie}\mid\textrm{Physik}\right)=\frac{P\left(\textrm{Chemie}\cap\textrm{Physik}\right)}{P\left(\textrm{Physik}\right)}=\frac{0,625}{0,8}=0,781$$
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student die Chemieprüfung bestanden hat, unter der Bedingung, dass er auch die Physikprüfung bestanden hat, bei 78,1 Prozent liegt.
Wenn Du willst, kannst Du das alles noch einmal mit Wahrscheinlichkeitsbäumen durchrechnen. Du musst Dir allerdings gut überlegen, ob Du die Physik- oder die Chemieprüfung in die erste Stufe setzt.
Viele Grüße
jake2024
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.22K
c)
Gibt es zwischen dem Ergebnis der Chemieprüfung (bestanden / nicht bestanden) und dem Ergebnis der Physikprüfung (bestanden / nicht bestanden) einen Zusammenhang oder nicht? wie könntest Du das testen?
Stichworte: Test auf stochastiche Unabhängigkeit (relativ einfach); Chi-Quadrat-Test (viel Rechenaufwand, fördert aber das Verständnis dafür, was »statistisch unabhängig« bedeutet)
d)
Wenn es fraglos einen Zusammenhang gibt: wie stark ist dieser Zusammenhang?
Stichworte: Prozentsatzdifferenz (bei Vierfeldertafeln, einfach); Cramérs V (wenn Du Chi-Quadrat schon berechnet hast).
Viele Grüße
jake2042 ─ jake2042 22.07.2019 um 04:23
Wenn ich auf »Bearbeiten« klicke, meine Antwort im alten Antwortfenster bearbeite und dann wieder speichern will, dann wird die Antwort so angezeigt, wie sie vorher war. Die Änderungen sind verloren.
Grüße
jake2042 ─ jake2042 22.07.2019 um 04:34
[...], ist aus Aufgabe a) behḱannt. = [...], ist aus Aufgabe a) bekannt. ─ jake2042 20.07.2019 um 18:18