Nein, da die negative Wurzel eine komplexe Zahl ist. sqrt(-1)=i

Das die Aussage falsch ist konntest du dir aber sicher schon denken.

Hallo julp,

dein "Beweis" ist natürlich nicht korrekt, da die Eigenschaft, dass die Quadratwurzel eines Produktes gleich dem Produkt der Quadratwurzeln der einzelnen Terme ist, nur für positive reelle Zahlen gilt.

Hallo julp,

die folgende Erklärung zum Umgang mit Quadratwurzeln im Zusammenhang mit komplexen Zahlen (d.h. sobald \(i\) eine Rolle spielt), habe ich im Web gefunden:

Quelle:
https://ipfs.io/ipfs/QmXoypizjW3WknFiJnKLwHCnL72vedxjQkDDP1mXWo6uco/wiki/Square_root.html

Der Text ist zwar auf englisch, aber er ist eindeutig. Einige der Umformungsregeln für Quadratwurzeln gelten nicht mehr, wenn Du in den Bereich komplexer Zahlen kommst. Insbesondere kannst Du die folgende Regel

$$\sqrt{z\cdot w}=\sqrt{z}\cdot\sqrt{w} \tag{1}$$

nur im Bereich der reellen Zahlen anwenden. Sobald \(z\) oder \(w\) negativ werden, kommst Du in den Bereich komplexer Zahlen, mit \(i\) als Bestandteil. Und dann ist Formel (1) nicht mehr anwendbar.

Für den Bereich reeller Zahlen gilt: aus negativen Zahlen lassen sich keine Wurzeln ziehen, weil sowohl \(x\cdot x\) als auch \(-x\cdot -x\) jeweils \(x^2\) ergibt und \(x^2\) immer positiv ist. Außerdem ist per definitionem \(\sqrt{x^2}=|x|\), das heißt immer die positive Lösung der Gleichung \(y=x^2\). Die Wurzel aus 4 ist 2 und nicht 2 oder –2. Siehe dazu auch:

http://gfs.khmeyberg.de/Materialien/IMathematik/Wurzeln-quadratischeGleichungen.pdf

Also: entweder Du bleibst im Bereich der reellen Zahlen. Dann ist bei Zeile 3 Deiner Ableitung definitiv Schluss, weil Du im Bereich der reellen Zahlen aus negativen Werten keine Wurzel ziehen darfst. Oder Du wechselst in den Bereich der komplexen Zahlen. dann ist die Rückumformung von Zeile 3 zu Zeile 2 unzulässig, da genau diese Umformungsregel für den Bereich der komplexen Zahlen nicht anwendbar ist. In beiden Fällen ist die Ableitung ungültig.

Viele Grüße
jake2042