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Also vorab, die Taylorreihe der Funktion wird wieder die Funktion selber ergeben weil, wie man ja sehen kann, alle partiellen Ableitungen höherer Ordnung als 2 verschwinden.
Vereinfachen wir die Taylorreihe auf Funktionen mit 2 Veränderlíchen, bedeutet \( x \in \mathbb{R}^{2}\) im Entwicklungspunkt \(a \in \mathbb{R}^{2}\), und lassen i nicht bis unendlich, sondern bis 2 laufen, was ausreicht, da wie gesagt alle höheren partiellen Ableitungen 0 sind, bekommen wir \(f(x) = f(a) + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(a)}{\partial x_i} (x_i-a_i) + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f(a)}{\partial x_i \partial x_j} (x_i-a_i)(x_j-a_j) \)
setzen wir jetzt \( x := (x, y)^{T}\) und \(a := (0, 0)^{T}\) bekommen wir \(f(x) = 0 + 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (4x^2 - yx - xy - 2y^2) = 2x^2 - xy -y^2 \)
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