Hallo!

Den Flächeninhalt bestimmst Du allgemein über:

\(\displaystyle  2\cdot\left(\cos(\alpha)\cdot r\right)\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot r\right)\), also in Deinem Fall \(\displaystyle  \left(\alpha = \frac{\pi}{4} = 45^\circ\right)\)

\(\displaystyle  2\cdot \frac{1}{2}\cdot 18 = 18\).

Anmerkung:

\(\displaystyle F(\alpha) := 2\cdot\left(\cos(\alpha)\cdot r\right)\cdot\left(\sin(\alpha)\cdot r\right) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\sin(2\alpha)\cdot r^2  \). [Es gilt: \(\displaystyle  r > 0\).]

\(\displaystyle  F'(\alpha) \overset{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha = (2k+1)\frac{\pi}{4},\quad k\in\mathbb{Z}\). Für \(\displaystyle  0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2}\) folgt daher, dass das Extremum bei \(\displaystyle  \alpha = \frac{\pi}{4}\), also \(\displaystyle  k = 0\), erreicht wird.

Gruß.

Was ist daran denn eine Extremwertaufgabe? 

Alternatives Vorgehen über die Methode "Quadrat in Kreis", diesen Flächeninhalt dann halbieren. 

Hallo KawaSindi,

meiner Ansicht nach lässt sich die Aufgabe ganz einfach über den Satz des Pytagoras lösen. Nämlich so:

Verstanden?

Viele Grüße
jake2042

Hallo alle zusammen,

jetzt nicht mehr für KawaSindi, aber für alle anderen, die das lesen, doch noch einmal etwas ausführlicher.

Bekannt ist:

• a) \(r=\sqrt{18}\)
• b) \(r=c\)
• c) \(a=b\)
• d) Höhe des Rechtecks = \(a\) = \(b\)
• e) Länge des Rechtecks = \(2\cdot a\) = \(2\cdot b\)

Daraus folgt

• f) Aus a) und b) folgt: \(c^{2}=r^{2}=\left(\sqrt{18}\right)^{2}=18\)
• g) Aus f) und dem Satz des Pytagoras folgt: \(a^{2}+b^{2}=c^{2}=18\)
• h) Aus c) und dem Satz des Pytagoras folgt: \(a^{2}=b^{2}=\frac{c^{2}}{2}=\frac{18}{2}=9\)
• i) Aus \(\sqrt{a^{2}}=|a|\) folgt \(\sqrt{9}=|3|\)
• j) Strecken können keine negativen Längen haben. Deshalb ist \(a=3\).
• k) Aus c) und j) folgt: \(b=3\)
• l) Aus j), k) und d) folgt:  Höhe des Rechtecks = 3
• m) Aus j), k) und e) folgt: Länge des Rechtecks = \(2\cdot 3\) = 6
• n) Aus \(\textrm{Fläche des Rechtecks} = \textrm{Höhe} \cdot \textrm{Länge}\), l) und m) folgt: \(A = 3\cdot 6 = 18\)

Ein anderer Ansatz:

Das folgende ist etas crazy und nicht ganz ernst gemeint (aber auf jeden Fall richtig):

Dass \(a=b=3\) ist lässt sich unter Bezug auf c) und h) auch etwas anders herausfinden, nämlich indem gedanklich hiermit gearbeitet wird:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9349/die-py-werte-ein-nicht-ganz-ernst-gemeinter-vorschlag/

Danach sind \(a_{\textrm{py}}^{2}\) und \(b_{\textrm{py}}^{2}\) im vorliegenden Fall beide gleich 0,5. Daher gilt nach der Formel \(a=\sqrt{a_{\textrm{py}}^{2}}\cdot c\) folgende Gleichung:

$$a=\sqrt{0,5}\cdot \sqrt{18}=3$$

Nach c) gilt auch \(b=3\).

Viele Grüße
jake2042