Grenzwert

Aufrufe: 1031     Aktiv: 25.07.2019 um 12:26
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Hallo,

kann mir vielleicht jemand helfen, wie ich den Grenzwert von

(log(x + e^x))/x

für x nach undendlich bestimme?

l'Hospital haben wir noch nicht definiert, darf ich also leider nicht benutzen.

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Bin selbst draufgekommen :)

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Dann schreibe doch Deinen Lösungsweg hier als Antwort. Das kann dann nämlich anderen helfen.

Viele Grüße
jake2042   ─   jake2042 25.07.2019 um 10:15

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Hallo!

 

Zunächst gilt:

 

\(\displaystyle  \lim_{x\to 0} \ln(1+x) = x\).

 

Danach formen wir um:

 

\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{\ln\left(\mathrm{e}^x\left(\frac{x}{\mathrm{e}^x}+1\right)\right)}{x} = \lim_{x\to\infty}\left(\frac{\overbrace{\ln\big(\mathrm{e}^x\big)}^{=x}}{x} + \frac{\overbrace{\ln\left(\frac{x}{\mathrm{e}^x}\right)}^{\to x/\mathrm{e}^x}}{x}\right) = 1\).

 

Gruß.

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Hallo einmalmathe,

aus dem Ausgangsposting lese ich:

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log\left(x+\textrm{e}^{x}\right)}{x} \tag{1}$$

Dabei ist \(\textrm{e}\) die Eulersche Zahl (ca. 2,718, irrational) und \(\log\) der Zehnerlogarithmus. Wolfram Alpha interpretiert den Ausdruck im Ausgangsposting genauso, wie hier zu sehen ist:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(log(x+%2B+e%5Ex))%2Fx

Wolfram Alpha kommt, wie Du, zu dem Ergebnis dass der Limes von \(x\) gegen unendlich vom Ausdruck im Ausgansposting gleich 1 ist.

Inwiefern ist Formel (1) mit Formel (2), also Deinem Ausgangspunkt, identisch?

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\ln\left(1+x\right)=x \tag{2}$$

Viele Grüße
jake2042   ─   jake2042 25.07.2019 um 12:26

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