Fourierreihe: Wie integriere ich einen Betrag?

Aufrufe: 884     Aktiv: 29.07.2019 um 20:21
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Guten Tag,

ich versuche gerade, die Fourier-Koeffizienten der Funktion

f(x) = |sin(t)|            auf dem Intervall [0, 2pi]

zu finden und habe nun auch nach ausgiebiger Recherche wirklich Probleme damit. Mein erster Ansatz ist, dass ich erstmal versuche, \( a_{0} \) bis \( a_{3}\) herauszufinden. Die \( b_{k} \) -Terme verschwinden ja, da die Funktion als Komposition einer ungeraden und einer geraden Funktion wieder gerade ist.

Die Reihe ist ja

wobei
 
Um an \( a_{0} \) zu kommen, setze ich in die Formel für \( a_{k} \) die entsprechenden Werte ein, der Cosinusteil wird zu 1, übrig bleibt:
 
                 
 
Hier ergibt sich gleich die erste Frage:
Wie gehe ich mit dem Betrag um? Dass das Ergebnis des bestimmten Integrals 4 ist, ist soweit noch hübsch und leicht ersichtlich (zweimal von 0 bis pi integriert). spätestens für k=2 wird es dann aber für mich nicht mehr nachvollziehbar. Wenn ich den Vorschlag für die Betragsintegration befolge und als Stammfunktion
 
 
nehme, habe ich permanent eine null unterm Bruchstrich stehen. Für k=2 soll das Ergebnis
sein, ich habe auch nicht den leisesten Hauch einer Ahnung, wie ich mit menschenmöglichen Methoden auf dem Papier zu diesem Ergebnis kommen soll. Nach Einsetzen ergibt sich
Auch wenn ich die mir bekannten Regeln der partiellen Integration befolge, kann ich selbst mit viel Fantasie diesen Betrag nicht anständig integrieren (oder ableiten, wo wir schon mal beim Thema sind). Was kann ich denn noch tun?
 
Viele Grüße,
 
giesebrecht_
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Habe einmal aus Versehen x statt t geschrieben, sorry...   ─   giesebrecht_ 27.07.2019 um 00:39
Ich würde einfach die Symmetrie der Funktion ausnutzen und das Intervall, über welches integriert wird, demnach geschickt aufspalten.   ─   einmalmathe 27.07.2019 um 11:25
Hatte ich mir auch schon überlegt, ich fische aber ziemlich im Trüben. würde ein Aufteilen von -pi bis 0 + 0 bis pi denn etwas bringen?   ─   giesebrecht_ 27.07.2019 um 13:44
... oder ein zweimaliges aufteilen von 0 nach pi?
   ─   giesebrecht_ 27.07.2019 um 13:47
Ein zweimaliges aufteilen – daran habe ich auch gedachte, denn hier geht es um den Flächeninhalt und da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kann man eben zwei Mal über das besagte Intervall integrieren.   ─   einmalmathe 28.07.2019 um 12:06
Vielen Dank! Gibt es für Betragsintegration eine allgemeingültige Herangehensweise?   ─   giesebrecht_ 28.07.2019 um 17:20
Insofern keine Grenzen gegeben sind, muss man auf algebraische „Eigenschaften“ zurückgreifen – insofern Grenzen und Symmetrie vorliegen und das Intervall symmetrisch um den Ursprung ist, so empfiehlt es sich immer diese Herangehensweise in Betracht zu ziehen (\(\displaystyle \vert x\vert = \sqrt{x^2} \Rightarrow \left(\vert x\vert\right)' = \frac{x}{\vert x\vert}\) – eine kleiner Denkanstoß).   ─   einmalmathe 28.07.2019 um 17:28
Danke sehr nochmals!   ─   giesebrecht_ 29.07.2019 um 20:20
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