»Bubble« heißt Blase, von der Vorstellung her so etwas wie eine Seifenblase. Bei einem Bubblediagramm werden drei metrische Variablen im Verhältnis zueiander gezeigt. Dabei werden erst die Ausprägungen der Variablen \(x\) und \(y\) als Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem eingetragen und dann diese Punkte als Mittelpunkte für Kreise genommen, die die Ausprägungen der Variable \(z\) zeigen sollen. Dabei wird häufig ein spezifischer Fehler gemacht, der dazu führt, dass die wahren Verhältnisse verzerrt dargestellt werden.

Um zu zeigen, worum es dabei geht, sollen die fiktiven Daten in Tabelle 1 als Beispiel dienen.

Tabelle 1: Fiktive Daten für ein Bubblediagramm
\(
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
\textrm{Fall} & x & y & z\\
\hline
1 & 3 & 2 & 1\\
2 & 8 & 5 & 3\\
3 & 14 & 7 & 2\\
\hline
\end{array}
\)

Das, was meistens gemacht wird, ist, die Daten der variable \(z\) direkt als Längenangabe für den jeweiligen Kreis zu nehmen. Mit den Daten aus Tabelle 1 würde das zu folgender Darstellung führen:

Abblidung 1: Falsch erstelltes Bubblediagramm

Die Größenverhältnisse der Kreise passen jetzt aber überhaupt nicht mehr zu den Daten in Tabelle 1. Die Flächeninhalt des Kreises für Fall 3 ist nicht doppelt, sondern viermal so groß, wie der für Fall 1. Der Flächeninhalt des Kreises für Fall 2 ist sogar neunmal so groß, wie der für Fall 1, obwohl er nur dreimal so groß sein sollte. Leider ist das in dieser Form häufig zu sehen. Die Unterschiede zwischen den einzelnen Fällen in der Variable \(z\) werden deutlich übertrieben dargestellt. Das ist schon eine Form der Datenfälschung.

Wie müsste der Radius nun tatsächlich verändert werden, wenn die Flächeninhalte der Kreise die Unterschiede zwischen den einzelnen Fällen in der Variablen \(z\) richtig wiedergeben sollen?

Der Flächeninhalt eines Kreises folgt der Formel \(\pi\cdot r^2\). Das Verhältnis der Flächeninhale zweier Kreise mit dem Radius \(r_{1}\) für Kreis 1 und \(r_{2}\) für Kreis 2 kann also durch Formel (1) ermittelt werden.

$$\frac{\pi\cdot r_{1}^2}{\pi\cdot r_{2}^2} \tag{1}$$

Dabei kann \(\pi\) offensichtlich gekürzt werden, so dass sich Formel 2 ergibt.

$$\frac{r_{1}^2}{r_{2}^2} \tag{2}$$

Bei den Verhältnissen der Flächeninhalte der Kreise zueinander kommt es also nur noch auf den Radius an. \(\pi\) spielt dabei keine Rolle, weil das eine Konstante ist, die an den Verhältnissen als solchen nichts ändert. Wie muss der Radius eines Kreises nun geändert werden, wenn sich der Flächeninhalt zum Beispiel verdoppen oder verdreifachen soll? Angenommen ein Kreis hat den Radius 1. Welche Länge hat dann ein Kreis mit dem doppelten Flächeninhalt? Für diesen Kreis würde gelten, dass \(r^2=2\) ist. Daher ist dann \(r=\sqrt{2}\). Wenn \(a\) der Faktor ist, um den sich der Flächeninhalt eines Kreises von dem eines anderen Kreises unterscheidet, dann gilt Formel (3).

$$r_{2}=\sqrt{a}\cdot r_{1} \tag{3}$$

Damit der Flächeninhalt eines Kreises doppelt so groß ist, wie der Flächeninhalt eines anderen Kreises, muss der Radius des zweiten Kreises also nicht mit \(2\), sondern mit \(\sqrt{2}\) multipliziert werden. Wer schon einmal an einem Kopierer gestanden hat, weiß, dass das 1,414 ist. [1] Um die Verhältnisse in Tabelle 1 richtig wiederzugeben, müsste das Bubblediagramm also so aussehen:

Abbildung 2: Richtig erstelltes Bubblediagramm

Anmerkungen

[1]
Tatsächlich ist die Zahl irrational.Mein Taschenrechner gibt neun Stellen nach dem Komma an: 1,414213562 ...

Weiterführende Literatur

Krämer, Walter, (5)1994: So lügt man mit Statistik. (=Reihe Campus 1036) Frankfurt am Main: Campus

Das Buch ist überhaupt empfehlenswert. Es gibt eine neuere Auflage von 2015. Interessant für den hier vorgestellten Zusammenhang ist Kapitel 9: »Das frisierte Piktogramm« (Seiten 88 bis 99)