Hallo,

da können wir das lagrangsche Optimierungsverfahren anwenden:

Die Funktion \(f(x,y)=3x^2+4y^2-x+3\) soll unter der Nebenbedingung \(2x^2+2y^2\leq 2 \Longleftrightarrow g(x):=2x^2+2y^2-2 \leq 0\) optimiert werden.

Man bild nun die Determinante und setze sie gleich \(0\):

\(\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0\)

Hierbei ist \(f_x=6x-1\), \(g_x=4x\), \(f_y=8y\) und \(g_y=4y\). Mit der Regel von Sarrus gilt nun:

\(\begin{vmatrix} 6x-1 & 4x \\ 8y & 4y\end{vmatrix}=-4(2xy+y)=-4y(2x+1) \overset{!}=0\)

Du hast einmal die Lösung \(x_1=-0.5\), dann folgt mit der Nebenbedingung \(y_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) und du hast die Lösung \(y_3=0\), dann folgt \(x_2=\frac{1}{6}\)

∣∣∣6x−14x8y4y∣∣∣=−4(2xy+y)=−4y(2x+1)!=0

Diesen Schritt verstehe ich noch nicht ganz. Wie komme ich auf die Gleichungen hinter der Matrix? Ist das verfahren immer anwendbar wenn man eine Nebenbedingung gegeben hat?

Normalerweise stellst du wahrscheinlich immer ein Gleichungssystem auf. Hier die Herleitung: 

\(\begin{align}L &= f + \lambda g \\ L_x &= f_x + \lambda g_x = 0 && \left| \cdot g_y\right. \\ L_y &= f_y + \lambda g_y = 0 && \left| \cdot g_x\right. \end{align}\)

und \(\Longrightarrow f_x g_y - f_y g_x = 0  \Longleftrightarrow \begin{vmatrix} f_x & g_{ x} \\ f_y & g_{ y} \end{vmatrix}=0\)

Normalerweise stellst du wahrscheinlich immer ein Gleichungssystem auf. Hier die Herleitung: 

\(

\begin{align}L &= f + \lambda g \\ L_x &= f_x + \lambda g_x = 0 && \left| \cdot g_y\right. \\ L_y &= f_y + \lambda g_y = 0 && \left| \cdot g_x\right. \end{align}\)

\Longrightarrow f_x g_y - f_y g_x = 0  \Longleftrightarrow \begin{vmatrix} f_x & g_{ x} \\ f_y & g_{ y} \end{vmatrix}=0

\)