Bogenlänge eines Kurvenstücks

Aufrufe: 925     Aktiv: 12.08.2019 um 20:59
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Hier ist meine Aufgabe:

Ich würde nun so vorgehen, dass ich zuerst die Ableitungen von x(t) und y(t) berechne:

x´(t)=3cos(t)^2*(-sin(t)) , y'(t)=3sin(t)^2*cos(t)

damit dann die Länge des Tangentenvektors |x'->|=Wurzel((x'(t))^2+(y'(t)^2))

wobei ich auf : |x'->|=Wurzel(18)sin(t)cos(t) komme...

Nun würde ich den oben gezeigten Beweis anwenden und Wurzel(18)*(sin(pi/6)^2/2) von Wurzel(18)*(sin(pi/3)^2/2) abziehen

Dabei komme ich auf das Ergebnis 1,06 LE

Ich befürchte dass ich hierbei vollkommen falsch vorgehe und würde mich über eine detaillierte Lösung ungemein freuen.

LG

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Punkte: 31

 
Hättest auch die Formel \(\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{r^2+\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)}\,\mathrm{d}\theta\) benutzen können.   ─   einmalmathe 12.08.2019 um 18:17
* \(\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{r^2+\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2}\,\mathrm{d}\theta\)   ─   einmalmathe 12.08.2019 um 18:21
Okay, aber wie komme ich auf die geforderten Werte r und θ ?
Das erinnert mich an die Polarform von Komplexen Zahlen...
Danke für die Ergänzung   ─   duschmal 12.08.2019 um 18:30
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Ich werde mal mein Glück versuchen. Zunächst verwendest du die allgemeine Formel.

(Z.B. hier nachzulesen) 

https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_281/modul_2/teil_8/node65.html

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((-3*sin(t)*cos(t)^2)^2+(3*cos(t)*sin(t)^2)^2)`

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^4)+(9*cos(t)^2*sin(t)^4))`

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^4)+(9*cos(t)^2*sin(t)^4))`

Hier der wichtige Schritt: Soviel wie möglich zusammenfassen!

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^2)*(cos(t)^2+sin(t)^2))`

`int_{pi/6}^{pi/3}sqrt((9*sin(t)^2*cos(t)^2)*1)`

`int_{pi/6}^{pi/3}3*sin(t)*cos(t)`

Und es sollte dir jetzt ein leichtes sein, auf die Lösung von `3/4` LE (wie oben richtig angegeben) zu kommen.

 

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Student, Punkte: 5.08K

 
Wow, vielen Dank! Dieses Umschreiben fällt mir wohl noch etwas schwer, aber werde ich üben :)
Ja jetzt komme ich auch auf das selbe Ergebnis!   ─   duschmal 12.08.2019 um 15:40

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Bis zu deinem Tangentenvektor stimmt alles soweit. Du hast dich nur bei der Berechnung der Länge von diesem vertan. Ich habe für die Länge \(3 \cdot cost \cdot sint\) raus.

Zum Vergleich: Mein Endresultat beträgt \( \frac{3}{4}\) LE.

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Student, Punkte: 235

 
Hey, schonmal vielen Dank für die Antwort, aber vielleicht kannst du mir ja noch helfen auf das richtige Ergebnis zu kommen.
also ich habe ja jetzt unter der Wurzel stehen: 9*(cost^2*-sint)^2 + 9*(sint^2*cost)^2
nun wird ja cost^2 + sint^2 zu 1 und ich kann die Gleichung wie folgt neu schreiben:
Wurzel(9*(-sint + cost)^2)
nun würde sich nach wurzel ziehen für mich folgendes ergeben: 3*sint+cost
also die 3 kann ich nun nachvollziehen, wenn ich sint quadriere und dann die wurzel ziehe wird es auch positiv, sollte somit auch richtig sein, aber das + kann ja irgendwie nicht stimmen?
   ─   duschmal 12.08.2019 um 13:35
Nein das stimmt so nicht. Also, du hast folgende Wurzel, wie du schon richtig geschrieben hast:
\(\sqrt{9cos^{4}t sin^{2}t+9sin^{2}tcos^{4}t}\)
Hier kannst du nun unter der Wurzel \( 9cos^{2}t sin^{2}t\) ausklammern und erhälst:
\( \sqrt{9cos^{2}t sin^{2}t(cos^{2}t+sin^{2}t)}\)
Unter Verwendung von \( sin^{2}t + cos^{2}t = 1 \) bleibt noch
\( \sqrt{9cos^{2}t sin^{2}t} = 3costsint\)   ─   jordan 12.08.2019 um 20:58

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