In der Grundschule hatte ich Schwierigkeiten, das kleine Einmaleins zu lernen. Das sind immerhin 100 Aufgaben, wie Tabelle 1 zeigt. Also eine ganze Menge.

Tabelle 1: Das kleine Einmaleins im Urzustand
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20\\
3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & 24 & 27 & 30\\
4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 & 36 & 40\\
5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50\\
6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & 48 & 54 & 60\\
7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70\\
8 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 & 72 & 80\\
9 & 9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & 90\\
10 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100\\
\hline
\end{array}
\)

Bis ich dann begriffen habe, dass ich gar nicht alle Aufgaben zu lernen brauche. Zum Beispiel muss ich gar nicht wissen, wieviel \(7\cdot 5\) ist, solange ich weiß, wieviel \(5\cdot 7\) ist. Das reduziert die Menge der zu lernenden Aufgaben schon erheblich. Das Ergebnis ist Tabelle 2.

Tabelle 2: Das kleine Einmaleins nach Tilgung doppelter Aufgaben
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 & 1 &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
2 & 2 & 4 &  &  &  &  &  &  &  & \\
3 & 3 & 6 & 9 &  &  &  &  &  &  & \\
4 & 4 & 8 & 12 & 16 &  &  &  &  &  & \\
5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 &  &  &  &  & \\
6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 &  &  &  & \\
7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 &  &  & \\
8 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 &  & \\
9 & 9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & \\
10 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100\\
\hline
\end{array}
\)

Das sind jetzt nur noch \(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10\) Aufgaben. Wie über den kleinen Gaus [1] schnell herauszufinden ist, sind das genau 55 Aufgaben. Aber das lässt sich noch weiter reduzieren. Die 1er- und die 10er-Reihe brauchen gar nicht gelernt zu werden. Für die 1er-Reihe gilt: \(1\cdot x=x\) (einmal irgendwas ist irgendwas), und für die 10er-Reihe \(10\cdot x = x0\) (wenn etwas mit 10 multipliziert wird, dann heißt das einfach, dass an dieses etwas eine Null drangehängt wird). Dadurch wird aus Tabelle 2 jetzt Tabelle 3.

Tabelle 3. Das Kleine Einmaleins ohne doppelte Aufgaben, 1er-Reihe und 10er-Reihe
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
2 &  & 4 &  &  &  &  &  &  &  & \\
3 &  & 6 & 9 &  &  &  &  &  &  & \\
4 &  & 8 & 12 & 16 &  &  &  &  &  & \\
5 &  & 10 & 15 & 20 & 25 &  &  &  &  & \\
6 &  & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 &  &  &  & \\
7 &  & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 &  &  & \\
8 &  & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 &  & \\
9 &  & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & \\
10 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
\hline
\end{array}
\)

Das dampft die Anzahl der zu lernenden Aufgaben bereits auf \(1+2+3+4+5+6+7+8=36\) Aufgaben ein (wieder der kleine Gaus!). Jetzt habe ich aber bereits in der Grundschule einen speziellen Trick für die 9er-Reihe gefunden. Der funktioniert nur innerhalb der Grenzen des kleinen Einmaleins, da aber wunderbar. [2] Der Trick lässt sich am besten mit Tabelle 4 illustrieren.

Tabelle 4: Der 9er-Reihen-Trick
\(
\begin{array}{rcccrl|c|c}
A & \hspace{-2ex} & \hspace{-2ex} & \hspace{-1ex} & \hspace{-1ex}B & \hspace{-2ex}C & A+C & B+C\\
\hline
1 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex} & \hspace{-2ex}9 & 10 & 9\\
2 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}1 & \hspace{-2ex}8 & 10 & 9\\
3 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}2 & \hspace{-2ex}7 & 10 & 9\\
4 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}3 & \hspace{-2ex}6 & 10 & 9\\
5 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}4 & \hspace{-2ex}5 & 10 & 9\\
6 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}5 & \hspace{-2ex}4 & 10 & 9\\
7 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}6 & \hspace{-2ex}3 & 10 & 9\\
8 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}7 & \hspace{-2ex}2 & 10 & 9\\
9 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}8 & \hspace{-2ex}1 & 10 & 9\\
10 & \hspace{-2ex}\cdot & \hspace{-2ex}9 & \hspace{-1ex}= & \hspace{-1ex}9 & \hspace{-2ex}0 & 10 & 9
\end{array}
\)

Beispiel:

Wenn ich wissen will, wieviel \(7\cdot 9\) ist, dann brauche ich zunächst die Zehnerergänzung zu 7. Das ist 3. Damit ist 3 die Einerstelle des Ergebnisses. Die Quersumme des Ergebnisses muss 9 sein (das ist so, solange ich im kleinen Einmaleins bleibe). Von 3 bis 9 ist 6. Damit ist 6 die Zehnerstelle meines Ergebnisses. Das Ergebnis ist 63.

Mit diesem Trick brauche ich auch die 9er-Reihe nicht zu lernen und komme zu den in Tabelle 5 endgültig zu lernenden Aufgaben.

Tabelle 5: Die tatsächlich zu lernenden Aufgaben des kleinen Einmaleins
\(
\begin{array}{|c|cccccccccc|}
\hline
\times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
1 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
2 &  & 4 &  &  &  &  &  &  &  & \\
3 &  & 6 & 9 &  &  &  &  &  &  & \\
4 &  & 8 & 12 & 16 &  &  &  &  &  & \\
5 &  & 10 & 15 & 20 & 25 &  &  &  &  & \\
6 &  & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 &  &  &  & \\
7 &  & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 &  &  & \\
8 &  & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 &  & \\
9 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
10 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
\hline
\end{array}
\)

Das sind jetzt nur noch \(1+2+3+4+5+6+7=28\) Aufgaben (schon wieder der kleine Gaus!). Das ist dann etwas, was auch für einen Grundschüler zu bewältigen ist.

Wie es möglich ist, ganz ohne kleines Einmaleins (nur mit Verdopplung und Halbierung) schriftlich zu multiplizieren, zeige ich ein anderes mal.

[1]
Zum kleinen Gaus siehe zum Beispiel hier:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9115/der-kleine-gau-ohne-worte/

oder hier:

https://1drv.ms/b/s!AhSmXwQDkCvagfduUlVvKFj6PiDhlw?e=XiawQU

[2]
Für die 9er-Reihe gibt es noch eine zweite Form, das Ergebnis zu bestimmen, ohne die 9er-Reihe lernen zu müssen. Dabei wird nach Formel (1) gerechnet.

$$9\cdot x = (10\cdot x)-x\tag{1}$$

Im Unterschied zu dem im Text beschriebenen Trick funktioniert die Berechnung nach Formel (1) in jedem Fall, auch außerhalb des kleinen Einmaleins.