Extrema mit 3 Variablen

Erste Frage Aufrufe: 914     Aktiv: 20.08.2019 um 21:11
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Hallöchen,

Ich habe die Gleichung (x²y²+y²z²+x²z²)/xyz =a

Für x<y<z und 0<x,y,z<1

Aus einer anderen Gleichung geht noch vor dass

x=y-b

y=y

z=y²-y(y-b)²

 

Mich würde interessieren was der kleinstmögliche Wert für x ist. 

Ich habe versucht das Extremum zu berechnen, bin da aber irgendwie gescheitert. 

Das Ergebnis sollte am Ende aber auf jedenfalls größer sein als √3 (das würde rauskommen wenn a=b=c gelten würde). 

 

Vielen lieben Dank! 

 

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Schüler, Punkte: 10

 
y=y (Sinn?)
x=y-b (b ist nicht definiert)   ─   maccheroni_konstante 20.08.2019 um 18:40
x,y und z sind alle von y abhängig. X ist etwas kleiner als Y und Z etwas größer. Wie viel kleiner bzw größer bestimmt b. B muss kleiner sein als y, da x > 0 gilt.   ─   emil1234 20.08.2019 um 18:43
Also wenn es Dir um das Extremum geht, dann drücke alles in Abhängigkeit von \(y\) aus (ich gehe davon aus, dass \(b\) eine reelle Konstante darstellt) und benutze Wolframapha oder Du tust es Dir an und rechnest es per Hand dann entsprechend aus … irgendwie ist Deine Frage ziemlich unklar formuliert.   ─   einmalmathe 20.08.2019 um 20:15
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Du kannst auch über Lagrange Multiplikatoren arbeiten, was bei so viel Nebenbedinungen etwas unangenehm werden kann.

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Student, Punkte: 2.46K

 
Meint der Fragesteller damit, dass das alles Nebenbedingungen sind? Irgendwie ist dies nicht ganz ersichtlich bzw. wie hast Du es verstanden?   ─   einmalmathe 20.08.2019 um 20:20
Ja ich dachte das das eine Reihe von Nebenbedingungen sind. Wobei y=y wirklich eine sinnlose Nebenbedingung ist :D   ─   wirkungsquantum 20.08.2019 um 20:21

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Vielleicht mache ich ja was falsch, aber ich denke du hast überhaupt keine mögliche Lösung für dein Problem.
Es muss gelten (siehe deine Bedingungen) z>y, das heißt z-y>0 bzw. `y^2-y(y-b)^2-y>0`. Zudem muss b ebenso wie x,y,z zwischen 0 und 1 liegen (da stimmst du mir hoffentlich zu).
Aus `y^2-y(y-b)^2-y>0` folgt y<0 oder `(-sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2<y<(sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2` wobei `(-sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2` also kleiner als 1 sein sollte, um die Bedingungen zu erfüllen.
Also `(-sqrt(4*b-3)+2*b+1)/2<1`. Ich denke aber, dass man zeigen können sollte, dass diese Aussage nie gilt, dein "System" also bereits irgendwo in den Bedingungen einen Fehler haben sollte.

 

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Student, Punkte: 5.08K

 
Du hast recht, ich habe z falsch definiert.
z=1-y²-y(y-b)²   ─   emil1234 20.08.2019 um 20:30
Toll jetzt kann ich alles noch mal machen...
Und du schreibst auch von c, was ist c?   ─   vt5 20.08.2019 um 20:33
Ich habe aber eine Idee, wie es gehen könnte. Du machst das, was ich gerade schon für das Falsche z gemacht habe. Dann bekommst du Nullstellen. Die reelle Nullstelle muss größer als b sein. Diese Gleichung lösen (lassen) - geht sowieso nur numerisch. Die Lösung müsste ca. b=0,618 sein. Also x kann dann ganz, ganz wenig größer als 0 sein, für y=0,618. Ohne CAS bekomme ich das aber auch nicht hin.   ─   vt5 20.08.2019 um 21:11

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