\((a+b)^2\) ist das gleiche wie \((a+b)\cdot (a+b)\).

Das ausmultipliziert ergibt \((a+b)\cdot (a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2+2ab+b^2\).

Bei \((8x+5y)^2\) wäre \(a=8x\) und \(b=5y\), sprich du rechnest \((8x)\cdot (8x) + (8x)\cdot (5y) \cdot \,... \,\cdot (5y)\cdot (5y)=(8x)^2 + 2(8x)(5y)+(5y)^2\).

Hallo timicin1909,

wenn Du etwas quadrierst, dann bedeutet das, dass Du dieses etwas mit sich sebst multiplizierst. Zum Beispiel ist

$$5^{2}=5\cdot 5=25 \tag{1}$$

Etwas allgemeiner ausgedrückt gilt Gleichung (2).

$$x^{2}=x\cdot x \tag{2}$$

Nun kannst Du nicht nur einzelne Zahlen quadrieren, sondern auch ganze Ausdrücke (Terme). Wenn Du für \(x\) in Gleichung (2) zum Beispiel \(4+3\) einsetzt, dann bekommst Du Gleichung (3).

$$(4+3)^{2}=(4+3)\cdot (4+3) \tag{3}$$

Wenn Du das verallgemeinerst und für \(x\) in Gleichung (2) \(a+b\) einsetzt, dann bekommst Du Gleichung (4).

$$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)\tag{4}$$

Die Multiplikation der beiden Terme kannst Du vollziehen, indem Du jedes Element des einen Terms mit jedem Element des anderen Terms multiplizierst. Im vorliegenden Fall hast Du keine negativen Faktoren, da es sich bei beiden Termen um Additionen handelt. Deshalb kannst Du nach Gleichung (5) vorgehen:

$$(a+b)\cdot (a+b)=(a\cdot a)+ (a\cdot b) + (b\cdot a) + (b\cdot b) \tag{5}$$

Das nennt sich ausmultiplizieren. Vergleiche dazu Abbildung 1. Damit bekommst Du Gleichung (6).

Abbildung 1: Ausmultiplizieren

$$(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}\tag{6}$$

Da \(ab=ba\) ist und das zweimal vorkommt, bekommst Du Gleichung (7).

$$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+2ab+b^{2} \tag{7}$$

Das ist die erste binomische Formel. Auf die gleiche Weise bestimmst Du \((a-b)\cdot (a-b)\) und \((a+b)\cdot (a-b)\). Dabei musst Du nur darauf achten dass Minus mal Minus Plus und Minus mal Plus (oder Plus mal Minus) Minus ergibt. Du bekommst dann die Gleichungen (8) und (9).

\begin{array}{lcccl}
(8)\qquad{}(a-b)^{2} & = & (a-b)\cdot(a-b) & = & a^{2}-2ab+b^{2} \\
(9)\qquad{}&  & (a+b)\cdot(a-b) & = & a^{2}-b^{2}
\end{array}

Dummerweise hast Du jetzt 8 Terme. Als ich in der Schule die binomischen Formeln lernen sollte, habe ich einen Trick angewandt und einfach einen neunten (eigentlich überflüssigen) Term dazukonstruiert, damit ich eine symmetrische \(3\times 3\)-Matrix bekam, die ich mir merken konnte. Ob das für Dich die richtige Methode ist, weiß ich nicht. Jeder tickt anders. Mir hat das aber geholfen. Meine neun Terme sahen so aus, wie die Gleichungen (10) bis (12). Der Term ganz unten rechts in der Ecke ist der, den ich dazukonstruiert habe. Du siehst schon, was ich da gemacht habe. ;-)

\begin{array}{lcccl}
(10)\qquad{}(a+b)^{2} & = & (a+b)\cdot(a+b) & = & a^{2}+2ab+b^{2} \\
(11)\qquad{}(a-b)^{2} & = & (a-b)\cdot(a-b) & = & a^{2}-2ab+b^{2} \\
(12)\qquad{}a^{2}-b^{2} & = & (a+b)\cdot(a-b) & = & a^{2}+ab-ab-b^{2}
\end{array}

Soweit an dieser Stelle.

Viele Grüße
jake2042