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Ich würde mich hier gar nicht mit erweitern aufhalten. Sehe ohnehin nicht ganz, wo du da letztlich hinwillst. Das \(x^2\) ist ja weiterhin vorhanden und demnach x = 0 weiterhin ein Problem ;).
l'Hospital zweifach angewendet sollte schnell zum ziel führen.
\(\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}\)
l'Hospital kann ich hier direkt anwenden:
\(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{2x}\)
Und auch hier kann ich l'Hospital direkt anwenden.
\(\lim_{x\to 0} \frac{\cos(x)}{2}\)
Wenn man nun das im Grenzwert betrachtet, haben wir im Zähler \(1\). Insgesamt als \(\frac12\).
Was mit deinem Latex nicht stimmt, sehe ich übrigens nicht. Sieht eigentlich gut aus?!
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orthando
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Sorry, ich muss dazu sagen, dass ich für die Mathematik 1 Klausur lerne. Da "gibt" es bei uns noch keinen L'Hospital :/
Trotzdem danke!
─ lukastimmer 23.08.2019 um 18:06
Trotzdem danke!
─ lukastimmer 23.08.2019 um 18:06
Darfst du \(\lim \frac{\sin(x)}{x} = 1\) verwenden? Dann kommt man auch ganz gut hin. Dein Ansatz ist dafür schon eine perfekte Vorlage :).
─
orthando
23.08.2019 um 18:20
Der Vollständigkeithalber:
\(\lim \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \lim \frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x^2(1+\cos(x))} \)
Trigonometrische Pythagoras
\(= \lim \frac{\sin(x)^2}{x^2(1+\cos(x))}\)
Splitten des Bruchs
\(= \lim \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{1+\cos(x)}\)
\(= \frac12\)
Denn der erste Summand ist wegen \(\lim \frac{\sin(x)}{x} = 1\) ─ orthando 23.08.2019 um 18:27
\(\lim \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \lim \frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x^2(1+\cos(x))} \)
Trigonometrische Pythagoras
\(= \lim \frac{\sin(x)^2}{x^2(1+\cos(x))}\)
Splitten des Bruchs
\(= \lim \left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2\cdot \frac{1}{1+\cos(x)}\)
\(= \frac12\)
Denn der erste Summand ist wegen \(\lim \frac{\sin(x)}{x} = 1\) ─ orthando 23.08.2019 um 18:27
\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos x}{x^{2}}}
$$\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos x}{x^{2}}} \tag{1}$$
\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\cdot{1+\cos x}}}
$$\lim\limits _{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos^{2}x}{x^{2}\cdot{1+\cos x}}} \tag{2}$$
Ist in Term (2) tatsächlich \(\cos^{2}x\) (Code: \cos^{2}x) gemeint? das sieht merkwürdig aus.
Viele Grüße
jake2042 ─ jake2042 24.08.2019 um 05:46