Hier:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9544/wie-liest-man-gleichungen/

hat andré dalwigk einen wirklich schönen Artikel darüber geschrieben, wie Gleichungen gelesen werden können. Das hat mich motiviert, an dieser Stelle etwas zu einigen begrifflichen Differenzierungen zu sagen, mit denen es leichter ist, sich einen Pfad durch den mathematischen Dschungel zu bahnen. Es gilt also diee Frage der aus Kindertagen bekannten Sachbuchreihe zu beantworten: Was ist was?

Nun:

Zahlen sind Elemente von Termen, die einen konkreten Wert auf dem Zahlenstrahl (oder einer »Zahlenebene«, wenn ein imaginärer Zahlenstrahl ortogonal dazukommt) repräsentieren. Zahlen können mithife von Termen oder symbolischen Ausdrücken dargestellt werden, wie \(\frac{1}{2}\) oder \(\pi\).

Beispiele

1, \(\frac{3}{4}\), 4,56, \(\frac{1}{9}\), \(\pi\), \(\textrm{e}\), \(\sqrt{2}\), 3,56+2i

Der Term

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^{k}}$$

steht ebenfalls für eine Zahl auf dem Zahlenstrahl, nämlich 1.

Variablen und Konstanten stehen für Zahlen, andere Variablen bzw. Konstanten oder zusammengesetzte Terme. Beispielsweise kann in der Formel \(x^{2}=x\cdot x\) die Variable \(x\) durch den Term \(2+3\) ersetzt werden, was dann zu der Gleichung \(\left(2+3\right)^{2}=\left(2+3\right)\cdot \left(2+3\right)\) führt. Zunächst einmal ins unreine gesprochen: Variablen sind veränderlich, Konstanten nicht. Das präzisiere ich weiter unten. Aussagenlogische Satzbuchstaben können ebenfalls wie Variablen behandelt werden.

Beispiele für Variablen oder Konstanten

• \(x\), \(y\) (beides Variablen),
• \(a\), \(b\) (manchmal Variablen, meinstens Konstanten\)

Beispiele für Satzbuchstaben

\(A\), \(B\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(p\), \(q\), \(r\)

Terme sind Ausdrücke, die wiederum Bestandteile von Gleichungen, Unglichungen, Funktionsgleichungen oder Formeln  sind. Sie können elementar oder zusammengesetzt sein. Wichtig ist, dass sie sinnvoll sein müssen und keine Relationszeichen enthalten. Auch Zahlen oder Variablen können, je nach Kontext, Terme sein. Beispielsweise ist in der Funktionsgleichung \(y=3x-4\) das \(y\) auf der linken Seite gleichzeitig eine Variable und ein Term, der als einziges Element diese Variable enthält.

Beispiele

• \(\frac{1}{n\cdot (n-1)}\)
• \(3-2\)
• \(a^{2}+2ab+b^{2}\)
• \(\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\)
  
  

Gleichungen und Ungleichungen verbinden zwei Seiten, auf denen sowohl Zahlen, Variablen oder Konstanten, als auch zusammengesetzte Terme stehen können, mit einem Relationszeichen, dass eben Gleichheit oder eine bestimmte Form von Ungleichheit ausdrückt. Ein gutes Bild dafür ist eine Waage mit zwei Schalen. Wenn die Schalen auf gleicher Höhe sind, dann haben wir eine Gleichung, sonst eine Ungleichung. Gleichungen und Ungleichungen können entweder darauf geprüft werden, ob sie wahr oder falsch sind (wenn sie keine Variablen enthalten) oder sie können, beispielsweise in Gleichungssystemen, gelöst werden.

Beispiele

• 1+2=3
• \(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}{\frac{9}{10^{k}}=1}\)
• \(x-1=0\)
• \(x^{2}+2x+3=8\)
• 5>4
• \(1+1\ne 1,98563975\)

Funktionsgleichungen beschreiben eine Gerade oder Kurve in in einem Koordinatensystem. Deshalb sind sie als solche nicht wahr oder falsch. Wichtig ist, dass es für jeden x-Wert nur einen y-Wert gibt (umgekehrt kann es durchaus für einen y-Wert mehrere, meistens sind das zwei, x-Werte geben).

Beispiele

• \(y=3x+2\)
• \(y=x^{2}\)
• \(y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)

Formeln sind veralgemeinerte Gleichungen, Ungleichungen oder Funktionsgleichungen. Sie drücken einen bestimmten allgemeinen Zusammenhang aus.

Zum Beispiel ist

$$y=bx+a$$

die allgemeine Formel für Geraden. Dabei sind in einer bestimmten Geradengleichung \(a\) und \(b\) feste Werte, wärend \(x\) und \(y\) sich verändern können. Deshalb sind \(a\) und \(b\) Konstanten, \(x\) und \(y\) dagegen Variablen. In bestimmten Zusammenhängen werden die Konstanten auch als Koeffizienten bezeichnet, zum Beispiel in der Formel für eine erweiterte lineare Gleichung:

$$y=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+ \cdots + b_{n}x_{n}+a$$

Dabei sind \(b_{1}\) bis \(b_{n}\) die Koeffizienten der Variablen \(x_{1}\) bis \(x_{n}\) und \(a\) eine Konstante. Wenn es in einer Formel Variablen gibt, dann wird in der Regel eine Funktionsgleichung aus ihr, wenn die Konstanten bekannt sind. Wenn es keine Variablen in einer Formel gibt, dann wird aus einer Formel eine Gleichung oder eine Ungleichung, wenn die Konstanten bekannt sind.

Weitere Beispiele

• \(r^{2}=\left(x-M_{x}\right)^{2}+\left(y-M_{y}\right)^{2}\) (dabei gibt es drei Konstanten: \(r\) ist der Radius \(M_{x}\) die x-Koordinate des Mittelpunkts und  \(M_{y}\) die y-Koordinate des Mittelpunkts)
• \(y=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\) (drei Konstanten, davon zwei Koeffizienten, nämlich \(a_{2}\) und \(a_{1}\) und eine freie Konstante, nämlich \(a_{0}\), zwei Variablen, nämlich \(x\) und \(y\))
• \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) (mit ebenfalls drei Konstanten, \(a\) und \(b\) für die Länge der Katheten und \(c\) für Länge der Hypotenuse)
• \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\) (zwei Konstanten, keine Variable)