Es besteht wohl ein assoziativer Zusammenhang zwischen den beiden Aufgabenteilen, aber eigentlich müsste das trotzdem besser (wasserdicht) erklärt werden. Löst man b) nach "Muster" a) ist die Aussage wahr. Lambda ist die Konstante (also k), es geht um einfache Abbildungen wie bei a). Erlaubt man auch komplizierter Fälle wäre die Gleichung allerdings nicht zwingend richtig.

Es gilt wie bei a) `f(k*(x1,x2))=k*f(x1,x2)`, weil:

`k*x1*(a1,a2,a3)+k*x2*(b1,b2,b3)=k*(x1*(a1,a2,a3)+x2*(b1,b2,b3))`
Jede "Dimension" des `R^3` kann nun einzeln betrachtet werden.
`k*x1*a1+k*x2*b1=k*(x1*a1+x2*b1)`
`k*x1*a1+k*x2*b1=k*x1*a1+k*x2*b1`
Diese Aussage ist wahr, analog verfährt man weiter.
Das Ganze kann auch auf Abbildungen in `R^n` nach dem gleichen Muster erweitert werden.

Hallo irukandji,

so ganz ohne Kontext finde ich es schwierig zu sagen, was die Gleichung im einzelnen eigentlich bedeuten soll. Zunächst ist mir unklar, was \(\binom{x1}{x2}\) eigentlich heißen soll. Mir fallen da ad hoc zwei Möglichkeiten ein: entweder es handelt sich um eine Matrix mit einer Spalte und zwei Zeilen, also um einen Skalar, oder es handelt sich um einen Binomialkoeffizienten mit \(x1=n\) und \(x2=k\). Das sind zwei sehr verschiedene Möglichkeiten.

Außerdem ist mir unklar, ob \(x1\) und \(x2\) nun \(x_{1}\) und \(x_{2}\) (das ist am wahrscheinlichsten) oder \(x^{1}\) und \(x^{2}\) oder \(x\cdot 1\) und \(x\cdot 2\) heißen soll. Bei dem \(f(\textrm{irgendwas})\) auf beiden Seiten der Gleichung nehme ich an, dass es sich um so etwas wie \(f(x)\), also  eine Funktion von irgendwas, handelt.

Das Einzige, was einigermaßen klar ist, weil es da steht, ist, dass \(\lambda\) »jede beliebige Zahl« sein kann. Nur steht da wieder nicht, was »beliebig« heißt. Heißt das jede beliebige Zahl aus der Menge der natürlichen, der ganzen, der rationalen, der reellen oder der komplexen Zahlen?

Solange der Kontext und die aufgeführten Fragen für mich nicht geklärt sind, würde ich zunächst einmal sagen, dass es sich um ein schönes Ornament handelt, um eine sinnfreie Aneinanderreihung von Zeichen.

Viele Grüße
jake 2042

Hallo irukandji,

nachdem ich darüber geschlafen habe, meine ich jetzt zu wissen, wie die ganze Gleichung gemeint ist. Eigentlich ist nicht wichtig, was der Ausdruck \(\binom{x1}{x2}\) genau bedeutet. Die Bedeutung des ganzen Ausdrucks erschließt sich am ehesten, wenn Du einfach \(\binom{x1}{x2}=x\) setzt. Dann hast Du Gleichung (1).

$$f(\lambda x)=\lambda\cdot f(x)\tag{1}$$

Das bedeutet einfach nur, dass Du einen Faktor vor eine Funktion (oder einen Term in einer Funktion) sezten kannst, wenn Du ihn in der Funktion oder im Term findest. Zum Beispiel ist \(x^{2}-x=x\cdot(x-1)\).

Viele Grüße
jake2042

Hallo,

ich glaube mit \( \lambda \) ist eher ein beliebiger Skalar gemeint und konkret geht es um homogene bzw. lineare Funktionen, also beispielsweise \( f(x)=2x \).

Ein einfaches Gegenbeispiel, dass das nicht allgemein für jede Funktion gilt, wäre schon \( f(x)=x_1^2+x_2^2\):

\(f(2x)=(2x_1)^2+(2x_2)^2 = 4x_1^2+4x_2^2 \neq 2 x_1^2 +2x_2^2=2 f(x) \).

Grüße,

h