Hallo anonym,

hast Du die Überlegung von mcbonnes verstanden? Er macht im Grunde genommen zwei Denkschritte.

1.
Wenn der Nenner eines Bruchs immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt, dann nähert sich der Wert des Bruchs immer mehr 0 an. Bei einem endlich großen Nenner bleibt ein Unterschied zu 0 aber bestehen, so klein er auch sein mag. Für \(\frac{3}{\prod\limits _{i=1}^{n}10}\) kannst Du das formal so aufschreiben, wie in Gleichung (1). [1]

$$\frac{3}{\prod\limits _{i=1}^{n}10}-\varepsilon=0\qquad{}\textrm{mit}\;\varepsilon>0 \tag{1}$$

2.
Wenn Du jetzt \(n\) und damit auch den ganzen Nenner gegen unendlich laufen lässt, dann wird der Unterschied zu 0 unendlich klein, das heißt: er verschwindet. \(\varepsilon\) wird dann exakt 0. Vom Gedanken her ist das eine Grenzwertbildung. Das kannst Du dann so aufschreiben, wie in Gleichung (2).

$$\lim\limits _{n\to\infty}\frac{3}{\prod\limits _{i=1}^{n}10}=0 \tag {2}$$

Ich glaube, wenn Du Dir das ansiehst, dann verstehst Du auch besser, was maccheroni_konstante geschrieben hat. Da geht es nämlich auch um Grenzwertbildung.

Viele Grüße
jake2042

Anmerkungen

[1]
\(\prod\) ist das Produktzeichen. Es arbeitet ganz analog zum Summenzeichen, nur dass nicht summiert, sondern multipliziert wird. Siehe dazu diesen Community-Artikel:

Das Produktzeichen

\( \frac{3}{x} \) und \( \frac{5}{x} \) streben gegen Null, weil der Nenner immer größer wird, bei gleichbleibendem Zähler.

Siehe:

\( \frac{3}{10} = 0,3 \)

\( \frac{3}{100} = 0,03 \)

\( \frac{3}{1000} = 0,003 \)

\( \frac{3}{10000} = 0,0003 \)

\( \frac{3}{10.000.000.000} = 0,0000000003 \)

usw.

Ist der Zählergrad größer als der des Nenners, so verläuft die Funktion für \(x\to \infty\) auch gegen \(\infty}, da der Wert des Dividenden relativ größer wird, als der des Divisors.

Wenn der Nennergrad größer ist, verläuft sie logischerweise gegen null, da der Quotient mit einem vergleichsweise größeren Divisor kleiner wird. 

Hier ist Zähler- gleich Nennergrad. Somit dividiert man schlichtweg beide Leitkoeffizienten.

Hier: \(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x+3}{4x-5} \Rightarrow \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \)

Alternativ über L'Hospital:

\(\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x+3}{4x-5} \Rightarrow\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{[x+3]'}{[4x-5]'} = \dfrac{1}{4}\)