Was gemacht werden muss steht in der jeweiligen Teilaufgabe.

a) Schaut man in seinen Unterlagen / Tafelwerk / Internet nach Funktionsgleichung Exponentionalfunktionen, so stößt man bspw. auf die Formel \(N(t) = N(0) \cdot k^t\). Hierbei stellen \(N(0)\) die Menge zum Zeitpunkt \(t=0\), \(k\) den Wachstumsfaktor, und \(N(t)\) den Bestand zum Zeitpunkt \(t\) dar.

Wenn man nun weiß, dass zu Anfang \(t=0\) 180 Tiere existieren, so ist \(N(0) = 180\), sprich \(N(t) = 180 \cdot k^t\). Nach vier Jahren sollen nun 60 Tiere dazukommen. Also lautet hierfür die Gleichung \(240=180\cdot k^4 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}=k^4 \Rightarrow k=\sqrt[4]{\dfrac{4}{3}}\)

Somit lautet die Funktionsgleichung / Wachstumsgesetz \(N(t) = 180 \cdot \left(\sqrt[4]{\dfrac{4}{3}} \right)^t\)

b) Für die jährliche Wachstumsrate gilt die Formel:
\(g = \dfrac{[\text{Bestand nach t+1 Jahren}]-[\text{Bestand nach t Jahren}]}{[\text{Bestand nach t Jahren}]}=\dfrac{N(t+1)-N(t)}{N(t)}\)

c) Für die Verdopplungszeit (Zeit zum Verdoppeln der Ursprungsmenge) ermittle \(t\) in der Gleichung \(N(t) = 2\cdot N(0) \Leftrightarrow N(t) = 360\)

Es gilt übrigens auch \(t \approx \dfrac{70}{100g}\) Jahre, falls ein ungefähres Ergebnis genügt oder man sein genaues kontrollieren möchte.

Lösung:

b) g ≈ 7.5%
c) t ≈ 9.6 Jahre