Hallo,

erstmal zur Frage was überhaupt der Differenzenquotient ist: wenn \( x_0 \) ein x-Wert ist und \(x_1\) ein zweiter x-Wert (der größer ist, d.h. \( x_0 < x_1 \)) und \(f(x_0) \) bzw. \(f(x_1)\) die Funktionswerte, dann ist der Differenzenquotient dieser Bruch hier:

\( m = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}  \)

Anschaulich kann man sich \( f(x_1)-f(x_0) \) als die zurückgelegte Strecke vorstellen und \( x_1-x_0\) als die verstrichene Zeit. Der Differenzenquotient ist dann "Weg durch Zeit", also die Geschwindigkeit (oder allgemein die Steigung). Bei einer linearen Funktion ändert sich die Steigung nicht, daher entspricht der Differenzenquotient auch gerade der Steigung der Geraden (und entsprechend kannst du dir beliebige Punkte heraussuchen, um die Steigung zu berechnen).

In der Mittelstufe habt ihr vermutlich die Steigung einer Geraden mit dieser Formel berechnet:

\( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \). Das ist letztlich dieselbe Formel, nur etwas anders aufgeschrieben (übrigens zur Kontrolle: die Steigung einer linearen Funktion versteckt sich als Zahl vor dem x, falls du dein Ergebnis kontrollieren möchtest).