Ich nehme mal an, es soll eine Exponentialfunktion gefunden werden.

Diese hat die Form \(N(t) = N(0)\cdot k^t\), wobei \(N(0)\) den Bestand zum Anfangszeitpunkt, \(k\) den Wachstumsfaktor, und \(N(t)\) den Bestand (hier in cm\(^2\)) nach \(t\)-Zeiteinheiten (hier Stunden) angeben.

Da wir wissen, dass zu Anfang ca. 1cm\(^2\) bedeckt ist, lautet \(N(0) = 1\). 

Wenn sich der Bestand halbstündlich verdoppeln soll, so muss also für \(N(0) = 1\) und \(N(0.5) = 2\) gelten.
Setzt man dies ein, so lässt sich der Wachstumsfaktor bestimmen.

\(2=1\cdot k^{0.5} \Leftrightarrow 4=k\). Somit lautet die Funktion \(N(t)=1\cdot 4^t = 4^t\). 

Nun kannst du die jeweilige Fläche berechnen, indem du für \(t\) die passende Zeit einsetzt.

Hallo anonym,

Du kannst auch so vorgehen, dass Du Dir zuerst eine Wertetabelle erstellst, wie sie in Tabelle 1 gezeigt ist.

Tabelle 1: Die Wertetabelle
\(
\begin{array}{c|c}
\textrm{Zeit in Stunden} & \textrm{Fläche in cm}^2\\
\hline
0,0 & 1\\
0,5 & 2\\
1,0 & 4\\
1,5 & \cdots\\
2,0\\
2,5\\
3,0\\
3,5\\
4,0\\
4,5\\
5,0
\end{array}
\)

Wenn du die Zeit in Stunden mit \(x\) und die Flache in cm² mit \(y\) bezeichnest, kannst Du Dir überlegen, welche Funktionsgleichung Deine aufgestellte Wertetabelle »produzieren« würde. Wenn Du eine Verdopplungszeit von 1 Stunde hättest, dann wäre Deine Funktionsgleichung \(y=2^x\). Da die Verdopplungszeit aber eine halbe Stunde ist, muss im Exponenten nicht x, sondern 2x stehen. Du hast also Gleichung (1).

$$y=2^{2x} \tag{1}$$

Das ist nun, wie Du hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D2%5E%282x%29

sehen kannst, identisch mit Gleichung (2). Das ist das, was maccharoni_konstante gepostet hat.

$$y=4^x \tag{2}$$

Viele Grüße
jake2042