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Moin Timo,
das sieht bei dir schonmal ganz gut aus - hierzu meine Anmerkungen (inkl. kleiner Fehlerkorrektur):
Die komplexe Zahl \(z(t)\) (in Abhängigkeit von \(t\)) lautet zunächst (der Übersicht halber):
\(z(t)=\frac{1}{2}\Big(e^{(-2-2\pi i)t}+e^{(-2+2\pi i)t}\Big)\).
Wir vereinfachen einfach mal durch Ausmultiplizieren des Exponenten und durch Trennung der Exponentialterme in die Produktform:
\(z(t)=\frac{1}{2}\Big(e^{-2t}e^{-2\pi it}+e^{-2t}e^{+2\pi it}\Big)\).
Ich bevorzuge es meist, die Einzelterme auszuklammern, um da einfach schneller einen klareren Überblick zu bekommen bzw. um ein bisschen aufzuräumen (ist aber identisch zu deinem Vorgehen):
\(z(t)=\frac{e^{-2t}}{2}\Big(e^{-2\pi it}+e^{+2\pi it}\Big)\).
Soweit korrekt. :)
Dann noch die Klammer:
\(\Big(e^{-2\pi it}+e^{+2\pi it}\Big)=\Big(e^{-2\pi it+2\pi it}\Big)=\Big(e^{i(-2\pi t+2\pi t)}\Big)=\Big(e^{i\cdot 0}\Big)=e^{0}\).
\(e^{0}\) ist dann - logischerweise - auch gleich \(e^{0i}\), wobei man da immer auf Vollständigkeit achten sollte, wenn Exponentbestandteile miteinander verrechnet werden (das kann z.B. in der Physik auch gerne mal böse enden). ;)
Durch Einsetzen von \(e^{0}\,\hat{=}\,e^{0i}=1\) ergibt sich:
\(z(t)=\frac{e^{-2t}}{2}\cdot e^{0}=\frac{e^{-2t}}{2}\).
Die komplexe Zahl scheint hier also, zumindest mit dieser Herangehensweise, einer (natürlichen) Exponentialfunktion zu entsprechen (und keiner komplexen Zahl in Euler'scher Darstellung, d.h. \(z=r\cdot e^{i\phi}\), wobei \(r\) der Länge des Zeigers bzw. \(\phi\) dem Winkel des Zeigers in der komplexen Zahlenebene, mit Bezug auf die reale Achse, entspricht).
\(z(t)\) ist aber für jedes Funktionsargument \(t\) reell bzw. real, und da komplexe Zahlen
\(z=Re\{z\}+i\cdot Im\{z\}\)
immer beide Real- und Imaginärteile enthalten, können diese in diesem Fall nur so aussehen:
\(Re\{z\}=\frac{e^{-2t}}{2}=\frac{1}{2\,e^{2t}}\quad\land\quad Im\{z\}=0\).
Hoffe es hilft! :)
Liebe Grüße! :)
Student, Punkte: 235
Aber die grundsätzliche Herangehensweise wird deutlich :).
Ich danke dir :) ─ Timo95 09.09.2019 um 14:43
Ich hab' das Pluszeichen vernachlässigt...
Es lautet ja
\(z(t)=\frac{e^{-2t}}{2}\cdot\big(e^{2\pi it}+e^{-2\pi it}\big)\),
nicht aber
\(z(t)=\frac{e^{-2t}}{2}\cdot\big(e^{2\pi it}\cdot e^{-2\pi it}\big)\) (mit der Multiplikation in der Klammer...).
Nichtsdestotrotz: sehr gerne. :)
Ich lass' es jetzt aber mal so fehlerhaft drin stehen (für andere Leute, die vielleicht später kommen und den Fehler nicht auch irrtümlich begehen wollen... :P ) und gebe noch - wie mein Vorredner einmalmathe als Kommentar beim ursprünglichen Post - folgenden Tipp ("Euler'sche Formel" für den Realteil, ein Klassiker):
\(Re\{e^{i\phi}\}=\frac{1}{2}\cdot\big(e^{+i\phi}+e^{-i\phi}\big)=\text{cos}\,(\phi)\).
Das sollte die letzten Reste des Problems lösen; selbstverständlich ist dann (mit \(\phi=2\pi t\)) die Lösung falsch, und diese somit (allgemein, für \(t\in\mathbb{R}\)):
\(z(t)=e^{-2t}\cdot \text{cos}\,(2\pi t)\)
mit ähnlichen Lösungen \(Re\{z(t)\}=e^{-2t}\cdot \text{cos}\,(2\pi t)\) bzw. \(Re\{z(t)\}=e^{-2t}\) (wenn \(t\in\mathbb{Z}\), d.h. ganzzahlig / integer) und \(Im\{z(t)\}=0\); gleiche Argumentation mit realen Zahlenwerten wie oben).
Nicht aber \(z(t)=\frac{e^{-2t}}{2}\). ;)
Die Idee bleibt am Ende aber die Gleiche - sorry nochmal! :) ─ schmantii 09.09.2019 um 15:11