Eine Polynomfunktion n-ten Grades

Aufrufe: 1389     Aktiv: 09.09.2019 um 18:29
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Hi, habe einen Merksatz da steht:

 

Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat die Gestalt:

\( f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0 \)

Merke: Eine Funtkion n-ten Grades hat maximal n Nulstellen!

 

Was bedeutet das??? Was ist den eine Funktion n-ten Grades und was meint man mit eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen?

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"Was ist den eine Funktion n-ten Grades"
Siehe meine letzte Antwort.

"Eine Funtkion n-ten Grades hat maximal n Nulstellen!"

In \(\mathbb{R}\) hat ein Polynom nicht immer genau, sondern maximal so viele Nullstellen wie sein Grad. Sprich eine Parabel max. 2 NS, eine kubische Funktion max. 3, usw.

Da man eine ganzrationale Funktion in seine Linearfaktoren zerlegen kann, kann man die einzelnen Nullstellen vom Polynom ablösen.

Bspw. hat die Funktion \(y=x^2-4\) die zwei Nullstellen \(x_1=-2,\, x_2=2\). Somit lässt sich die Funktion auch als \(x^2-4 = (x+2)(x-2)\) darstellen. Kennt man nur eine, so wäre bspw. auch \(x^3+3x^2-4 =(x-1)(x^2+4x+4)\) eine Darstellung.

Bzw. allgemeiner ausgedrückt: \(p(x)= a_n(x-n_1)(x-n_2)(x-n_3)\cdot \, ...\, (x-n_N)\) mit jeweils den Nullstellen \(n_k\).

Aus dieser Darstellung lässt sich folgern, dass es auch maximal N Nullstellen geben kann (siehe Satz vom Nullprodukt).

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Achso danke, jetzt habe ich es verstanden, also wenn ich z.B habe \( f(x)=x^9+x^8+x^3+x^4 \) Kann ich maximal 9 Nullstellen haben, da bei der Funktion die höchste Hochzahl vond er Funktion die 9 ist, also mann kan soviele Nullstellen haben, wie die höchste Hochzahl bei den Funktionen. Zum Beispiel \( f(x)=x^8+x^3+x^4+x^2+x^7 \) also heißt es ich kann bei der FUnktion maximal 8 Nullstellen haben oder?   ─   mathenoob00 09.09.2019 um 17:21
"also mann kan soviele Nullstellen haben, wie die höchste Hochzahl bei den Funktionen"
Genau, man kann, muss es aber nicht zwingend.

"also heißt es ich kann bei der FUnktion maximal 8 Nullstellen haben oder?"
Höchste Potenz -> 8; also kann es max. 8 Nullstellen geben.

Diese müssen i.Ü. auch nicht verschieden sein. \(y=x^2 \) hat an der Stelle \(x=0\) eine doppelte Nullstelle.   ─   maccheroni_konstante 09.09.2019 um 18:01
Danke vielen Dank, aber es muss auch nicht heißen, dass eine Funktion so viele Nullstellen hat oder? Also es ist maximal möglich, wenn ich z.B eine Funktion habe die x^8 enthält und das wäre die höchste Hochzahl bei der Funktion von den x muss es nicht unbedingt heißen, dass die Funktion auch 8 Nullstellen hat oder es heißt nur, dass es dann maximal 8 haben kann oder?   ─   mathenoob00 09.09.2019 um 18:22
Maximal n Nullstellen heißt, dass 0 oder 1 oder 2 oder ... oder n denkbar sind.
\(y=x^2+1\) besitzt keine Nullstellen, könnte als quad. Funktion theoretisch zwei besitzen.   ─   maccheroni_konstante 09.09.2019 um 18:28
Danke alles kapiert vielen Dank   ─   mathenoob00 09.09.2019 um 18:29

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