Hallo,

du musst zuerst zeigen, das \( \frac 1 {a+b \cdot \sqrt{2}} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \) ist.

Dafür kannst du dich einem Trick bedienen den man vielleicht von den komplexen Zahlen kennt. Wir erweitern den Bruch mit \( a- b \cdot \sqrt{2} \)

\( \Rightarrow \frac {a- b \cdot \sqrt{2}} {(a+b \cdot \sqrt{2}) \cdot (a-b \cdot \sqrt{2})} \\ = \frac {a- b \cdot \sqrt{2}} {a^2 - 2b^2} \\ = \frac {a} {a^2 - 2b^2} + \frac {-b} {a^2 - 2b^2} \cdot \sqrt{2} \)

Nun gilt es zu zeigen, das \( \frac {a} {a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q} \) und \( \frac {-b} {a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q} \) liegt. 

Überlege dir nun wie die rationalen Zahlen definiert sind und setze die Definition ein. Bedenke dabei, das bei der Division rationaler Zahlen immer wieder eine rationale Zahl heraus kommt. 

Wenn du das gezeigt hast, müsstest du noch zeigen das dies wirklich für alle \( a,b \in \mathbb{Q} \) gilt. Dabei gehst du so vor wie vt5 es bereits beschrieben hat. 
Um den Fall \( a=b=0 \) musst du dir dabei keine Gedanken machen, da du das Paar \( ( \mathbb{Q}[\sqrt{2}]-\{0\}, \cdot ) \) auf die Gruppeneigenschaften hin untersuchst. Die Null ist also ausgeschlossen. 

Grüße Christian

Mit Gruppen kenne ich mich (formal) nicht so gut aus. Dennoch versuche ich es mal:

Also du willst mit dem Inversen sagen, dass `(a+b*sqrt(2))*1/(a+b*sqrt(2))=1` (also das neutrale Element) ist. Das gilt aber nur wenn `a+b*sqrt(2) ne 0` bzw. `a ne -b*sqrt(2)` ist. Da aber a und b Element der rationalen Zahlen sein sollen, kann der problematische Fall nicht eintreten außer wenn a=0 und b=0, dann könntest du kein Inverses angeben. Aber sonst sehe ich keine Probleme, die auftreten könnten.

Also wie gesagt, ob das formal korrekt ist, weiß ich nicht, aber vielleicht konnte ich dir ja trotzdem weiterhelfen...