\(\displaystyle\int -\sin \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\, dx = -\displaystyle\int \sin \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\, dx\)

Nun bietet es sich an, das Argument des Sinus zu substituieren.

\(u=\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4} \Rightarrow du=-\dfrac{dx}{4} \Leftrightarrow dx = -4\, du\)

Somit ergibt sich \(-\displaystyle\int 4 \sin( u) \, du =4 \displaystyle\int \sin (u) \, du = 4(-\cos u)+C\)

Nach der Rücksubstitution erhält man \(F(x)=4\left(-\cos \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right) \right) +C = -4 \cos \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right) +C\).

Das ist auch logisch, denn wenn ich \(\cos \left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\) ableiten würde, ergäbe das \(-\sin\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{4}\sin\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}\right)\), weshalb noch mit \(\dfrac{1}{4}\cdot x = -1 \Leftrightarrow x=-4\) multipliziert werden muss.