Hallo,

erst mal zur a): man kann hier prinzipiell ganz normal umformen, indem du durch die Zahl vor dem z (das ist die Variable nach der man umstellt) dividiert:

\((1+\sqrt{3}i)z=-16 \Longleftrightarrow z=\frac{-16}{1+\sqrt{3}i} \)

Prinzipiell wäre man an der Stelle fertig. Für viele Situationen, ist es allerdings nützlich Real- und Imaginärteil gesondert zu haben, daher erweitern wir noch mit der komplex konjugierten von \( 1+\sqrt{3}i \):

 \( z=\frac{-16}{1+\sqrt{3}i} =\frac{-16(1-\sqrt{3}i)}{1^2-\sqrt{3}i^2} =\frac{-16+16\sqrt{3}i}{1+3}=\frac{-16+16\sqrt{3}i}{4}=-4+4\sqrt{3}i \)

Zur b):

Der Betrag einer komplexen Zahl \( z= x+ iy \) ist definiert als:

\( |z|:=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\Re(z)^2 +\Im(z)^2} \). Anschaulich ist das analog zum Betrag eines Vektors im \( \mathbb{R}^2 \). Das Argument kann über den tangens bestimmt werden:

\(\tan{\varphi} = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} \).