\( \frac{ 1- \frac{6}{x} +\frac{9}{x^{2}}}{ \frac{9}{x^{2}} -1 } \)

lässt sich vereinfachen, indem du binomische Formeln anwendest.

Im Nenner die dritte binomische Formeln rückwärts:

\( \frac{9}{x^{2}} -1 = ( \frac{3}{x} +1)( \frac{3}{x} -1) \)

Und im Zähler die zweite binomische Formeln rückwärts:

\(  1-\frac{6}{x} +\frac{9}{x^{2}} = ( 1- \frac{3}{x})^{2} \)

Wenn du das zusammen hinschreibst kannst du kürzen:

\( \frac{( 1- \frac{3}{x})^{2}}{( \frac{3}{x} +1)( \frac{3}{x} -1)} = \frac{( 1- \frac{3}{x})^{2}}{-( \frac{3}{x} +1)( 1- \frac{3}{x} )} = \frac{( 1- \frac{3}{x})}{-( \frac{3}{x} +1) }\)

Das kannst du noch mit x erweitern:

\( \frac{( 1- \frac{3}{x})}{-( \frac{3}{x} +1) } = \frac{ x-3}{-(x+3)} =\frac{ x-3}{-x-3} = -\frac{ x-3}{x+3} = \frac{3-x}{3+x} \) ... Oder welche Form dir auch immer am Liebsten ist.

Im Grunde ist es immer sinnvoll zu schauen, ob du im Zähler und Nenner irgendetwas Gleiches ausklammern kannst. Binomische Formeln zu prüfen ist bei solchen Schulaufgaben immer gut, die sind oft relativ offensichtlich :)

Wenn du noch Fragen hast, frag bitte einfach nach!