Bitte um Hilfe. Wie beweise ich diese Äquivalenz über archimedische Körper?

Aufrufe: 972     Aktiv: 25.01.2021 um 10:17
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Hallo Zusammen, ich müsste folgende Aussage beweisen:

Ein angeordneter Körper \(\mathbb{K}\) ist archimedisch \(\Leftrightarrow \{n\cdot1| n\in\mathbb{N}\}\) nicht nach oben beschränkt ist.

Ich hätte das wie folgt gelöst, bin mir aber wirklich nicht sicher ob das so geht und wäre euch sehr dankbar wenn ihr euch das kurz anschauen könnt.

Vielen Dank und liebe Grüsse

 

 

 

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Dein Beweis ist soweit richtig, nur die Aufgabe ist undeutlich gestellt. Wichtig ist, dass die \(1\) aus \(\mathbb{K}\) ist, was leider nicht aus der Menge hervorgeht. Deshalb empfehle ich dir hier \(1_{\mathbb{K}}\) zu schreiben.

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Ah okei, ja da hast du recht. aber auch wenn \(1\) aus \(\mathbb{K}\) ist, gelten eigentlich die gleichen Regeln wie mit \(1\) aus \(\mathbb{N}\) oder nicht?   ─   karate 25.01.2021 um 09:54
Nicht unbedingt, schau dir mal endliche Körper an, diese sind nämlich nicht archimedisch angeordnet   ─   mathejean 25.01.2021 um 09:55
aber ich finde doch auch in endlichen Körpern für alle Elemente \(a,b \in \mathbb{K}\) ein \(n \in \mathbb{N}\) so dass \(b < a \cdot n\) oder nicht?   ─   karate 25.01.2021 um 10:02
Ich weiß nicht wie genau, dass archimedische Axiom bei euch besprochen wurde, wichtig ist aber, dass es im Körper selber übertroffen wird. Schau dir mal das Supremumsaxiom an, da wird dir das vielleicht klar   ─   mathejean 25.01.2021 um 10:06
Okei habe ich mal gemacht, aber ich verstehe nicht genau was das im Zusammenhang mit dem archimedischem Axiom zusammenhängt.   ─   karate 25.01.2021 um 10:17

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