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Zusammenfassung: Bei diesem Post geht es um die Kurzvorstellung der imho didaktisch besten Methode, nicht um die sechs Grundfälle zu erlernensondern um die bereits erlernten/verstandenen sechs Grundfälle nie wieder zu vergessen. Wer die damals erlernten/gekonnten Fälle immer wieder vergisst oder nach Tagen/Wochen/Monaten/Jahren immer wieder in Verwirrung gerät, dem wird hier ein für allemal geholfen und sollte erst einmal damit anfangen sämtliche gelernten Begriffe über Bord zu werfen. Das ist wirklich der erste und wichtigste Schritt. A clean slate. 

Ja, ein Mindestmaß an Auswendiglernanstrengung wird benötigt, aber danach ist man für den Rest des Lebens belohnt, hier mein Merkblatt zum echten gedanklich-visuellen Auswendiglernen:

Download: KombinatorikMerkblatt.pdf

Das funktionierende Konzept hierzu ist:

  • Die Begriffe "Kombinationen", "Variationen", "Mit Wiederholung", "Ohne Wiederholung", "Mit Zurücklegen", "Ohne Zurücklegen", "Geordnete Stichprobe", "Ungeordnete Stichprobe", "Mit Berücksichtigung der Reihenfolge", "Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge" werden gänzlich weggelassen und ignoriert, weil sie verwirren, nicht haften, unnötig verkomplizieren und überhaupt nicht hilfreich für den Lernenden/Praktiker sind. Es ist schon eine Kunst an sich, überhaupt 6 Grundformeln für sich alleine auf ewig zu merken, aber es wäre absolut kontraproduktiv dann zu versuchen die richtige Kombination der obigen Begriffe für die korrekte vollständige Benennung des Grundfalls zuzuordnen, oder umgekehrt, anhand der fünfteiligen Bezeichnung ("wir haben eine ungeordnete Stichprobe mittels Variationen ohne Zurücklegen aber mit Wiederholungen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge"-häh?) nachzudenken welche Grundformel darauf die passende wäre. Selbst der Wiki-Eintrag ist "unmöglich für ewig auswendig zu lernen", viel zu kompliziert und verwirrend!
  • Man muss nur verinnerlicht haben, was der Unterschied zwischen einer Menge und einem Tupel ist (1. Schritt). Daraufhin ist der 2. Schritt (=letzter Schritt!) ein Klacks, nämlich das Nachdenken darüber um welche der zwei Mengentypen ("echte" Teilmenge à la "6 aus 49" oder eher "5 Prisen aus 9 Gewürzen"?) bzw was an dem Tupel eventuell besonders ist (nichts besonderes à la Zahlenschloss oder wohl irgendeine Permutation?). Um welche Permutation es sich handelt, ist dann immer eine Freude zu klären weil so klar und einfach! Apropos, jede Permutation ist technisch gesehen "auch ein Tupel (mit z.B. \(k\) Stellen)", aber eben nicht das sog. "k-Tupel aus einer n-Urne".
  • Zu jeder Formel lernt man nur ein einziges festes griffiges Wort, das reicht zur sicheren Orientierung, z.B. die Formel \(n!\) ist die Anzahl für die "n-Permutation", fertig! Im Hinterkopf ist man sich bewusst dass sich alle Grundformeln immer nur auf "aus einer n-Urne" beziehen. Einzige Ausnahme: der sog. "Mississippi"-Fall (auch Permutation-Mit-Wiederholung genannt), der sich auf das Jonglieren der Elemente einer N-Urne bezieht.
  • Man sollte jeden der 6 Grundfälle unabhängig voneinander vollkommen verinnerlicht/verstanden und mit seinem griffigen Namen verknüpft haben. Es hilft pro Grundfall sich ein Paradebeispiel zu merken als Anschaulichkeitshilfe, falls nötig.
  • Im letzten Schritt des Lernprozesses möge man erkennen ("Aha-Effekt"), inwiefern welche Fälle ähnlich gelagert/nah verwandt sind, und dass man sich quasi jede Formel selbst herleiten könnte.
  • Das gepostete PDF steht am Ende des Lernprozesses, nicht am Anfang! Jeder Grundfall muss erst einmal mit seinem 1-Wortnamen, seiner Formel und seinem on-the-fly Paradebeispiel tief sitzen. Pro Fall kann man sich ruhig 1 Tag Zeit lassen, und dann die Nacht darüber schlafen. Man fängt mit den Fällen an, die einem am einfachsten/einsichtigsten vorkommen, z.B. die k-Tupel und die n-Permutation.
  • Nach 6 Tagen des Grundfälle-Erarbeitens braucht man schon fast gar nicht mehr das PDF. Das PDF arrangiert aber das Gelernte auf vorteilhafte Weise, und man braucht sich nur die Sachen in roter Farbe zu visualisieren/merken, wo sie auf dem Blatt örtlich stehen (z.B. die Permutationen stehen unten mittig nebeneinander, neben der k-Teilmenge).
  • Der Computer-Code unter den Formeln ist ein willkommener Bonus, der die gelernten Zusammenhänge (siehe Aha-Effekt) untermauert. Die Software unterscheidet auch nur in drei Kategorien: TupelPermutation, und Teilmenge. Sie kann n-Urnen aber auch N-Urnen direkt verarbeiten.

Kommentar: 

  1. Jeder Schüler ab der 10. Klasse sollte in der Lage sein, den roten Entscheidungsbaum vollständig auswendig zu lernen und z.B. auf Papier oder gedanklich nachzuzeichnen. Dieser Entscheidungsbaum ist hilfreicher als eine trockene Formeltabelle einer Formelsammlung und lässt sich leichter anwenden (und auswendig lernen) als eine Tabelle.
  2. Man sollte sich an die hier vorgestellten 6 Einwortnamen (k-Tupel, Mississippi, n-Permutation, k-Permutation, k-Teilmenge, k-Multisets) klammern. In der Literatur, dtsch, engl, im Netz, Youtube, Wiki, Uni, Software, usw werden unterschiedlichste Bezeichnungen verwendet oder der Autor nimmt die gleiche Bezeichnung und meint damit etwas anderes, auch für Variablennamen, usw., und es gibt sogar Wiki-Artikel über diesen Missstand. Wenn man einmal die 6 Einwortnamen einstudiert hat, kommt man auch in Zukunft zurecht, wenn ein anderer Autor andere Namen verwendet oder z.B. \(k\) und \(n\) verwechselt.
  3. Mit einer Grundformel alleine kann man keine üblichen Aufgaben zu Kombinatorik oder Laplace-Wahrscheinlichkeiten lösen. Bei Aufgaben müssen oft mehrere Grundfälle miteinander kombiniert werden (durch Abzählprinzip Multiplikation, Division, Addition/Subtraktion). Deswegen sollte man die Beherrschung der sechs Grundformeln lediglich als das notwendige Einmaleins in der Kombinatorik betrachten. Aber gerade deshalb ist es wichtig, dass man immer wieder und auswendig sicher zur benötigen Formel findet. Man erinnere sich dann an das rote Visuelle vom PDF, den Entscheidungsbaum, was ganz oben stand, die äußersten Zweige (beide über Tupels verwandt!), den mittleren Teil, dann 1. Schritt, 2. Schritt, und bam!
  4. Wer sich beim oberflächlichen Anblick des einfach ausschauenden PDF's denkt "hmm das sieht mir genauso knapp und primitiv wie meine Tabelle aus der Formelsammlung aus! was ist hieran so besonders?", der ist noch nicht so weit sorry. Nur weil ich einen teuren Tischtennisschläger geschenkt bekomme, heisst das nicht, dass ich sofort damit besser spiele und meine Technik im allgemeinen verbessere, oder dass ich den Folgewert des Spielgeräts/Tools/Instruments im Vergleich zu anderen schätzen kann. Erst nach Zeit, Übung, Einarbeitung und Erarbeitung kommt man auf den Trichter und plötzlich hat man es drauf, spürt die Folgewirkung: man hat sich verbessert und bleibt verbessert. Das ist der Sinn der PDF's. Wer es einmal drauf hat/hatte, wird sich auch in Zukunft daran erinnern und es peu à peu gedanklich nachzeichnen können. Im Gegensatz dazu, "keiner" wird sich in Zukunft daran erinnern, was mit "eine ungeordnete Stichprobe mittels Variationen ohne Zurücklegen aber mit Wiederholungen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge" gemeint ist, und ob das auf die Situation zutrifft, und welche Grundformel dazu passt.

Dieser Beitrag wird in polierter Sprache eventuell in der Fachzeitschrift Stochastik In Der Schule erscheinen, damit Lehrer das im Unterricht einsetzen können, zur Entwirrung ihrer Schüler.

 

erstellt 06.01.2021 um 21:12
pipifax,
Schüler, Punkte: -211
 
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