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Hallo,
wir wollen graphisch das Volumen skizzieren. Dafür brauchen wir zuerst die Grenzen in denen sich das Volumen befindet. Wenn nichts anderes gesagt, starten wir im ersten Oktant (das 3D Äquivalent zum Quadranten).
Wir haben 3 Begrenzungen gegeben. Die \( x-y-\)Ebene, also der Boden des ersten Oktanten. Die \( y-z-\)Ebene ist eine "Wand". Zuletzt wird das Volumen noch nach oben beshränkt, durch die Ebene \( z= 4-x-y^2 \).
Man kann die \( x-y-\)Ebene und \( y-z-\)Ebene auch umschreiben in eine Ebenengleichung. Dann wird vielleicht klarer für welche Grenze die Ebenen stehen.
\( x-y-\)Ebene: \( z=0 \)
\( y-z-\)Ebene: \( x=0 \)
Es ist immer hilfreich sich das ganze durch beispielsweise GeoGebra zu visualisieren.
Das Integral \( V = \int \int \int \mathrm{d}V \) ist zu lösen, das stimmt.
Für das Volumenelement in kartesischen Koordinaten gilt
\( \mathrm{d}V = \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}z \)
Nun kannst du die Grenzen über die du integrieren musst aus dem Bild bestimmen. Falls dabei Probleme aufkommen melde dich nochmal.
Grüße Christian
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Dank deiner grafischen Darstellung, kann ich es viel besser visualisieren und nachvollziehen.
Aber bestimmen kann ich die Grenzen leider nicht..
Wenn es sich um ein Dreieck handeln würde, wären die Integrationsgrenzen bei x=4, z=4 und y=2/-2 richtig?
Bei meiner "umgekehrten Parabel" müssten die Grenzen jedoch als Term dargestellt sein oder?
Vielleicht verstehe ich es aber auch falsch..
Schönen Abend,
Leon ─ leon 24.09.2019 um 20:16
Gehen wir die Koordinaten nacheinander durch. Du liegst gar nicht so verkehrt. Wir fangen bei der Höhe an, denn die Höhe ist abhängig von den beiden anderen Koordinaten. \( z \) ist eigentlich am einfachsten. Die Höhe wird nämlich von unten durch die \(x-y-\)Ebene begrenzt (z=0) und von oben durch die Ebene \( z = 4-x-y^2 \) begrenzt. Die Grenzen stehen also bereits da.
Nun müssen wir noch die Werte herausfinden, für die \( z \geq 0 \) gilt (da unsere Volumen von unten durch die \(x-y-\)Ebene begrenzt wird) und wir haben noch eine weitere Einschränkung, nämlich die \( y-z-\)Ebene (\(x = 0\)).
Fangen wir mit \( x \) an. Ein Wert steht sofort da, nämlich \( x=0 \). Den anderen Wert hast du schon richtig bestimmt. Für \( x > 4 \), gilt \( \forall y \in \mathbb{R} : z<0 \).
Unsere obere Grenze ist also \( x=4 \).
Die \( y\) Grenzen hast du auch schon richtig bestimmt. Nämlich \( -2 \leq y \leq 2 \).
Wir erhalten also das Integral:
\( \int_0^4 \int_{-2}^2 \int_0^{x-y^2} \mathrm{d}z \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}x \)
Grüße Christian ─ christian_strack 25.09.2019 um 00:09
Habe leider keine Lösungen zu den Aufgaben..Ich hätte noch eine ähnliche, schwierigere Aufgabe, hast du noch etwas Geduld? :)
─ leon 25.09.2019 um 16:00