Fourierreihen Reihenentwicklung

Aufrufe: 1237     Aktiv: 08.10.2019 um 14:01
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Hallo, also wir haben folgende Beweise zu erstellen:

das Beispiel a. hab ich ja noch selbst hinbekommen, jedoch stehe ich jetzt bei Beispiel b an, bzw ich komme nicht auf den Beweis, das das Null sein soll.

 

Jetzt meine Frage, habe ich a richtig beantwortet? bzw was entgeht mir bei b?

 

Danke und lg

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Student, Punkte: 15

 
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Hallo,

die a) sieht soweit richtig aus. 

Bei der b) denke ich fehlt etwas. Denn \( \cos(k\omega) \) ist eine konstante Funktion, denn \( k \) und \( \omega \) sind konstante Werte. Außerdem gilt für das komplexe Skalarprodukt Linearität im zweiten Argument, also

\( <x, \lambda y > = \lambda <x,y> \)

Wir würden also für dein Skalarprodukt 

\( < 1, \cos(k \omega) > = \cos( k \omega ) <1,1> = \cos(k \omega ) \)

Was mich aber auch verwunder ist das in der Klammer vom Sinus und vom Kosinus ein Punkt nach dem \( \omega \) ist. Hat das vielleicht was zu bedeuten das mir nicht ganz klar ist?

Grüße Christian

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Hallo Christian,

das weiß ich leider auch nicht, den normalerweise hat man ja cos(kwt), wenn man nach f(t) geht.
Kann es sein das, wenn man w einsetzt, dann beim cos 0 rauskommt? Denn cos von Pi ist ja 0. Aber da wären ja noch die Periode T und das k. Also irgendwie ist mir das noch nicht ganz schlüssig.   ─   launga 02.10.2019 um 12:07
Da T nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein muss, haben wir auch nicht automatisch ein Vielfaches von \( 2\pi \). Deshalb können wir nicht allgemein sagen dass das Null wird.
Wie du schon sagst sollte dort eigentlich noch ein \( t \) im Kosinus vorkommen. Vielleicht wurde das \( t \) seltsamerweise durch einen Punkt ersetzt.
Ich würde es einmal fix durchrechnen was das Ergebnis ist.
So wie die Aufgabe dort steht, würde ich auf jeden Fall sagen ist sie nicht lösbar.

Grüße Christian   ─   christian_strack 02.10.2019 um 12:12
So ja mit \( \cos(kwt) \) geht die Aufgabe wunderbar auf, Ich denke hier hat wirklich ein \( t \) gefehlt.

\( \frac 1 T \int_0^T \overline{\cos(kwt)} \mathrm{d}t = \frac 1 T \int_0^T \cos(kwt) \mathrm{d}t \) , da \( \cos(kwt) \in \mathbb{R} \)
\( \Rightarrow \frac 1 T [\frac {\sin(kwt)} {kw}]_0^T = \frac 1 {2\pi k} ( \sin(2\pi k) - \sin(0)) = 0 \)
Die andere Aufgabe läuft analog.

Grüße Christian   ─   christian_strack 02.10.2019 um 12:20
Wie kommst du hier auf $$\frac 1 T [\frac {\sin(kwt)} {kw}]_0^T$$ ist $$\cos(kwt)$$ nicht normal $${\sin(kwt)}]_0^T$$ integriert?
   ─   launga 02.10.2019 um 12:26
Ich habe das Integral durch Substitution gelöst. Mit \( u=k \omega t \), erhalten wir \( \frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}t} = k \omega \Rightarrow \mathrm{d}t = \frac {\mathrm{d}u} {k \omega} \)
Das bedeutet wir lösen das Integral
\( \frac 1 T \int_{u(0)}^{u(T)} \frac {\cos(u)} {k \omega} \mathrm{d}u \)

Grüße Christian   ─   christian_strack 02.10.2019 um 12:33
Ansonsten leite zur Probe das ganze mal ab. Du musst dafür die Kettenregel nutzen.

Grüße Christian   ─   christian_strack 02.10.2019 um 12:35

ich habe mir nicht alles durchgelesen, aber die fragen warum cos(kw.) da steht glaube ich beantworten zu können. Das Skalarprodukt wie oben definiert, ist für Funktionen definiert. cos(kwt) ist keine Funktion, sondern eine Zahl. Deswegen wir in der Mathematik häufig
\(cos(kw \cdot)\)geschrieben, um hervorzuheben, dass es sich um die Funktion handelt und nicht um eine Zahl. Der Punkt kann dann beim Integrieren durch die Integrationsvariable ersetzt werden.
   ─   sora94 08.10.2019 um 01:37

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