Hallo,

die Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus der homogenen und partikulären Lösung zusammen

$$ y(x) = y_{hom}(x) + y_p(x) $$

Also fangen wir erstmal mit der homogenen Lösung an. Dafür bestimmen wir die Lösung der DGL

$$ y'' + 2y' + y = 0 $$

Das gehst du mit dem Exponentialansatz schon richtig an. 

$$ y(x) = e^{\lambda x} $$

Eingesetzt erhalten wir das charakteristische Polynom

$$ \lambda^2 + 2 \lambda + 1 = ( \lambda +1)^2 = 0 $$

Also hat das charakteristische Polynom die doppelte Nullstelle bei \( \lambda_{1/2} = -1 \).

Da wir eine doppelte Nullstelle haben erhalten wir die homogene Lösung

$$ y_{hom}(x) = e^{-x}(C_1 + C_2 x) $$

Nun kommen wir zur partikulären Lösung. Hier scheint das Problem zu liegen.

Ich nehme an ihr bestimmt die partikuläre Lösung über den Ansatz der Störfunktion. Für deine inhomogene DGL haben wir folgende Störfunktion

$$ s(x) = -2 \cos(-x) + 3\cos(2x) +4\sin(2x) $$

Wenn du dir beim Ansatz der Störfunktion unsicher bist, knöpfe dir jeden Summanden einzelnd vor. Wir fangen an mit 

$$ s_1(x) = -2 \cos(-x) $$ 

Wir haben also eine trigonometrische Funktion. Wir nehmen also auch eine trigonometrische Funktion als Ansatz. 

$$ y_{1,p}(x) = a \cos(-x) + b \sin(-x) $$

Wenn \( -i \) Nullstelle des charakteristischen Polynoms gewesen wäre, hätten wir den Ansatz

$$ (a_0 + a_1 x + a_2x^2 + \ldots + a_m x^m) \cos(-x) + ( b_0 + b_1 x +b_2 x^2 + \ldots + b_m x^m ) \sin(-x) $$ 

nehmen müssen, wobei \(m \) die Vielfachheit der Nullstelle \( -i \) wäre.

Aber wir haben nur eine doppelte Nullstelle bei \( \lambda_{1/2} = -1 \), also nehmen wir den normalen Ansatz

$$ y_{1,p}(x) = a \cos(-x) + b \sin(-x) $$

Nun knöpfen wir uns den zweiten Summanden vor

$$ s_2(x) = 3 \cos(2x) $$

\( 2i \) ist keine Nullstelle unseres Polynoms, also nehmen wir den Ansatz

$$ y_{2,p}(x) = c \cos(2x) + d \sin(2x) $$

Der letzte Term ist 

$$ s_3(x) = 4 \sin(2x) $$

Wieder ist \( 2i \) keine Nullstelle, also nehmen wir

$$ y_{3,p}(x) = e \cos(2x) + f \sin(2x) $$

Nun setzen wir alle 3 Ansätze zusammen und erhalten

$$ y_p = a \cos(-x) + b \sin(-x) + c \cos(2x) + d \sin(2x) + e \cos(2x) +f \sin(2x) \\ = a \cos(-x) + b \sin(-x) + g \cos(2x) + h \sin(2x) $$

Dabei ist \( g = c + e \) und \( h = d +f \). 

Du siehst also selbst wenn du dir jeden Summanden einzelnd vorknöpfst, dann kann man unnötige Ansätze zusammenfassen. Wir kommen letztendlich auf den Ansatz

$$ y_p(x) = a \cos(-x) + b \sin(-x) + c \cos(2x) + d \sin(2x) $$

Diesen Ansatz leitest du jetzt zweimal ab und setzt ihn in deine inhomogene DGL ein. Nach dem zusammenfassen vergleichst du die Koeffizienten und erhälst so deine partikuläre Lösung. 

Falls noch etwas unklar ist melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian