Der Latex Editor hier auf dem Board ist absoluter Mist. Aber gut.

Nun mit einer inhomogenen DGL 2. Ordnung zu starten, ohne jegliche Ahnung von DGLs zu haben ist bisschen happig, aber gut. Ich empfehle dir unbedingt auch auf Youtube nachzuschauen, wie man DGL 1. Ordnung löst. Diese sind im Allgemeinen einfacher zu lösen, aber das Verfahren ist wieder komplett anders als das hier. Insbesondere solltest du dir klarmachen, was DGL n-Ordnung bedeutet, wieviele Nebenbedingungen du benötigst, welchen Ansatz du für Störfunktionen ansetzt usw.. Das alles ist nicht wirklich trivial und Bedarf Übung.

Da du eine inhomogene DGL hast, benötigst du zunächst die Lösung des homogenen Teils und anschließend eine partikuläre Lösung

D.h. deine Lösung ist von der Form:

\(\vartheta(\chi)=\vartheta_{homo}(\chi)+\vartheta_{part}(\chi) \)

Der homogene Teil der DGL ist in diesem Fall im Prinzip die linke Seite. Der Term auf der rechten Seite ist ein so genannter Störterm.

Zunächst löst du nur den homogenen Anteil, indem du den homogenen Anteil einfach Null setzt.

\( \frac{d^2\vartheta}{dx^2}-\beta^2\vartheta=0 \)

Für DGL 2.Ordnung gibt es den einfachen Ansatz \( \vartheta(\chi)=Ae^{\lambda \chi} \)

Dies setzt du in die DGL zunächst ein und erhälst eine quadr. Gleichung bzw. den Exponentialfaktor kannst du ausklammern und dich interessiert nur noch das Zeug in der Klammer:

\( e^{\lambda\chi}(\lambda^2-\beta^2)=0 \)

nun suchst du nach Lösungen für Lambda. In dem Fall einfach \( \lambda_{1,2}=\pm\beta \)

In diesem Fall sind beide Werte für \( \lambda \) verschieden. Wären sie gleich, müsste man die Lösung bisschen anders zusammensetzen.

Die Lösung des homogenen Anteils (bei verschiedenen \( \lambda \) ist eine Linearkombination der Funktion, die wir eingesetzt haben.

\( \vartheta_{homo}(\chi)=Ae^{\beta\chi}+Be^{-\beta\chi} \)

Hätten wir keinen Störterm würden wir an dieser Stelle nun 2. Randbedingungen (weil DGL 2. Ordnung) gegeben haben, um die Konstanten weiter aufzulösen.

Nun benötigen wir den partikulären Teil. Da gibt es mehrere Verfahren wie z.B. Variation der Konstanten, welchen man prinzipiell immer anwenden kann, aber er ziemlich lang ist. Dann gibt es sowas das nennt sich "Ansatz vom Typ der rechten Seite". Der funktioniert im Prinzip so, dass du als partikuläre Lösung einen Ansatz wählst, der wie die Störung ausschaut. Hätten wir beispielsweise als Störterm sowas wie 

\( \vartheta(\chi)=\chi^2 \) würden wir als Ansatz \( \vartheta_{part}(\chi)=a_0+a_1\chi+a_2\chi^2 \) wählen und diesen in die DGL einsetzen. Hier haben wir es stattdessen mit einer Exponentialfunktion zu tun. Also wählen wir als Ansatz \( \vartheta_{part}(\chi)=Ce^{\gamma\chi} \) und setzen es in die ganze DGL ein. (d.h. mit der Störung) Wir erhalten

\( C\gamma^2 - C\beta^2 = 1 \Leftrightarrow C=\frac{1}{\gamma^2-\beta^2} \)

Nun hast du deine Lösung

\( \vartheta(\chi)=\vartheta_h{\chi}+\vartheta_p{\chi}=Ae^{\beta\chi}+Be^{-\beta\chi}+\frac{1}{\gamma^2-\beta^2}\exp{\gamma\chi} \)

An dieser Stelle müsste man wieder Randbedinungen einsetzen und die Konstanten ausrechnen. Um zu überprüfen, ob das auch wirklich die Lösung ist, setzt du sie nochmals in die DGL ein.

\( A\beta^2e^{\beta\chi}+B\beta^2e^{-\beta\chi} +\frac{\gamma^2}{\gamma^2-\beta^2}e^{\gamma\chi} - \left(A\beta^2e^{\beta\chi}+B\beta^2e^{-\beta\chi}+\frac{\beta^2}{\gamma^2-\beta^2}e^{\gamma\chi}\right) = e^{\gamma\chi} \)

Die Terme mit \( A \) und \( B \) kürzen sich raus. Bleibt übrig

\( \frac{\gamma^2}{\gamma^2-\beta^2}e^{\gamma\chi}-\frac{\beta^2}{\gamma^2-\beta^2}e^{\gamma\chi} = \frac{\gamma^2-\beta^2}{\gamma^2-\beta^2}e^{\gamma\chi}=e^{\gamma\chi} \)

Scheint zu passen.

Wie du siehst, ist das alles relativ aufwendig und deswegen sind eigtl. nur die wenigsten DGL analytisch wirklich lösbar.

Kein Plan was du studierst, aber Mathematiker würden das Ganze noch darauf untersuchen, ob die Lösung eindeutig und anderen Kram, der mich als Physiker nicht wirklich interessiert.