Hallo,
ich nehme an die Aufgabe ist es \( w \) durch Linearkombination der \( v_i \) darzustellen.
$$ w = av_1 + bv_2 + cv_3 $$
Mit \( a,b,c \in \mathbb{R} \) , da \( \mathbb{R} \) der Körper des Vektorraums ist. Außerdem gilt:
$$ w = ( \sin(x) + \cos(x) )^2 = \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) + \cos^2(x) $$
Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras und der Additionstheoreme erhälst du eine Ausdruck der schon sehr ähnlich zu einem der 3 Vektoren ist.
Guck mal ob du es ab da selbst hinbekommst. Ansonsten melde dich nochmal.
Grüße Christian
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Deshalb kenne ich persöhnlich jetzt keine Methode über die Ableitung. Aber diese kann es natürlich geben.
Aber ich versuch dir mal ein Gefühl für den Vektorraum \( \mathbb{C}(\mathbb{R}) \) zu geben.
Nehmen wir mal ganz allgemein eine komplexe Zahl
$$ z = a+ bi ,\ \text{mit} \ a,b \in \mathbb{R} $$
Wir können also jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahl eindeutig darstellen. Wenn wir \( a=0 \) und \( b =1 \) setzen, erhalten wir die imaginäre Einheit.
Mit dieser Idee, lassen sich komplexe Zahlen auch als zweidimensionaler Vektorraum über den reellen Zahlen definieren.
Wir definieren \( 1 \in \mathbb{R} \) als \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( i \in \mathbb{C} \), als \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Damit können wir die komplexe Zahl \( z = a+ bi \) als
$$ z = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Um deine Funktionen in so eine Vektorschreibweise zu bringen, bräuchten wir also die Koeffizienten bzgl. einer Basis, also zuallererst eine Basis. Da wäre ich mir gerade unsicher wie diese aussieht. Vielleicht habt ihr dazu etwas in der Vorlesung gemacht?
Erst wenn du das geschafft hast, kannst du beispielsweise eine Matrix aufstellen.
Vielleicht hilft dir dabei die Ableitung?
Grüße Christian ─ christian_strack 15.10.2019 um 14:17
$$ \sin(x) = \frac 1 {2i} (e^{ix} - e^{-ix} ) \\ \cos(x) = \frac 1 {2i} (e^{ix} + e^{-ix} $$
Grüße Christian ─ christian_strack 15.10.2019 um 21:42