Hallo,

ich fange mal mit der quadratischen Ergänzung an, denn diese benötigt man für die anderen beiden Themen.

Dafür gucken wir uns zuerst die ersten beiden binomischen Formeln an. 

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

Diese Formeln sind im Grunde nur Merkformeln. Sie erleichtern einem das ausklammern von Binomen. 

Anmerkung: Ein Monom ist ein Produkt aus einem Vorfaktor und den Potenzen von Koeffizienten. Klingt erstmal kompliziert, ist aber nur etwas der Art

$$ 7b^2 $$ oder $$ -2a^2b^3 $$ aber auch einfach $$ a $$ 

Ein Binom ist eine Summe von zwei Monomen

$$ a+b$$ oder $$ 2a^3 - 7ab^2 $$

Ein Polynom hat als Summanden beliebig viele Monome

Also erstmal die Angst vor dem Begriff oder der Formel verlieren. Sie soll dir erstmal nur helfen diese Klammer zu berechnen. Beispielsweise nutze ich persöhnlich oft die binomischen Formeln um schnell Quadratzahlen im Kopf zu überschlagen.
Wenn ich die Zahl \( 18 \) quadrieren möchte, berechne ich 

$$ 18^2 = (20-2)^2 = 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 2 + 2^2 = 400 - 80 + 4 = 324 $$

So nun warum erzähle ich das alles?

Die quadratische Ergänzung nutzt genau diese binomische Formel, geht jedoch von der "anderen Seite" an das Problem heran. 

Doch wieso sollten wir das machen wollen?

Springen wir kurz zu einem anderen Thema. Du hattest bestimmt schon häufiger die Aufgabe Nullstellen zu bestimmen, also die \( x \)-Werte für die die Funktion null wird.
Nehmen wir uns die Funktion

$$ f(x) = x^2 + 2x + 1 $$ 

Würden wir die Nullstellen berechnen, würden wir die doppelte Nullstelle \( x= -1 \) erhalten. 

Nun können wir die Funktion aber auch in eine andere Form bringen. Nutzen wir die erste binomische Formel, erhalten wir 

$$ f(x) = x^2 + 2x +1 = (x+1)^2 $$

Ist dir dieser Schritt klar?

Doch was bringt uns diese Darstellung? Wollen wir wieder die Nullstellen über die neue Darstellung berechnen, wirst du feststellen, dass das viel einfacher geht, denn ein Produkt ist immer genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist (Satz vom Nullprodukt). Wir haben das Produkt 

$$ f(x) = (x+1)^2 = (x+1)\cdot (x+1) $$

\( f(x) \) wird also zu Null, wenn \( (x+1) \) Null ist. Zu bestimmen wann \( (x+1) \) Null wird ist wesentlich einfacher als zu überprüfen wann \( x^2 + 2x + 1 \) null ergibt. 

$$ x+1 = 0 \\ x = -1 $$

Nun kann aber nicht jeder Term der Form \( ax^2 + bx + c \) in die Form \( (dx+e)^2 \) gebracht werden.
Die quadratische Ergänzung überlegt nun in welche Summe wir \( c \) aufteilen müssen, damit es eine solche Darstellung gibt. 
Gucken wir uns das mal an einem Beispiel an.

$$ 4x^2  + 8x + 16 $$

Erinnern wir uns an die erste binomische Formel

$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $$

Zuerst klammern wir den Vorfaktor von \( x^2 \) aus.

$$ 4x^2 + 8x + 16 = 4(x^2 + 2x + 4) $$

Nun sagen wir direkt, dass \( a^2 = x^2 \). Ziehen wir von beiden Seiten die Wurzel erhalten wir \( a = x \). 

Wir übernehmen auch den zweiten Summanden \( 2ab = 2x \). Wir wissen schon das \( a =x \). Das setzen wir ein und erhalten

$$ 2ab = 2 \cdot x \cdot b = 2xb = 2x $$

Teilen wir beide Seiten durch \( 2x \), erhalten wir \( b=1 \). 

Berechnen wir nun einmal damit die binomische Formel 

$$ 4( x + 1) ^2 = 4(x^2 + 2\cdot x \cdot 1 +1^2) = 4(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 + 8x + 4 $$

Das ist aber noch nicht ganz das ursprüngliche Polynom. 

$$ 4(x^2 +1)^2 = 4x^2 + 8x + 4  \neq 4x^2 + 8x + 16 $$ 

Damit wir die Gleichheit haben, müssen wir die Linke Seite noch mit \( 12 \) addieren. Damit erhalten wir

$$ 4(x^2 + 1)^2 + 12 = 4x^2 + 8x + 4 + 12 = 4x^2 + 8x + 16 $$

Und genau das ist die quadratische Ergänzung. 

Damit kommen wir auch zur Scheitelpunktform. Die allgemeine Scheitelpunktform ist

$$ f(x) = a(x-d)^2+e $$

Siehst du die Ähnlichkeit zu dem was wir bereits mit der quadratischen Ergänzung berechnet haben? Die Scheitelpunktform macht es ebenfalls einfacher bestimmte Werte der Funktion bestimmen. Ähnlich wie wir es bereits bei der Funktion

$$ f(x) = x^2 + 2x +1 = (x+1)^2 $$ 

gesehen haben. Mit dem Unterschied, das wir jede quadratische Funktion in die Scheitelpunktform bringen können.

Jetzt ist noch in der Scheitelpunktform ein Minus. Nehmen wir die Funktion aus unserem Beispiel

$$ f(x) = 4x^2 + 8x + 16 = 4(x+1)^2 +12 $$ 

erhalten wir folgendermaßen die Scheitelpunktform

$$ 4(x+1)^2 +12 = 4(x-(-1))^2 +12 $$

Berechne mal testweise die Scheitelpunktform von

$$ f(x) = -2x^2 + 8x - 10 $$

Dazu nutzt du wie ich es getan habe die quadratische Ergänzung. Als Tipp dieses mal musst du dich an der zweiten binomischen Formel orientieren.

Ist dir klar wieso?

Die p-q-Formel ist eine Formel zu Berechnung der \( x\)-Werte, die die Gleichung

$$ ax^2 + bx + c= 0 $$

erfüllen. Also beispielsweise zur Berechnung der Nullstellen von quadratischen Funktionen. 

Ich hoffe es ist nun verständlich. Lass das ganze mal etwas auf dich wirken und wenn noch Fragen offen sind melde dich gerne.

Grüße Christian