Aussagen zu Lösungsmenge in Abhängigkeit von Variable "a"

Aufrufe: 1346     Aktiv: 19.10.2019 um 18:10
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Hallo,

ich habe die Frage, ob mir bei der folgenden Aufgabe ein Denk- oder Rechenfehler unterlaufen ist.

Die Aufgabenstellung lautet:

Mein Lösungsweg sieht nun so aus:

Das führt mich dann zu folgenden Schlußfolgerungen bzgl "a":

Wenn a = 0, dann hat das Gleichungssystem keine Lösung.

In allen anderen Fällen ist der Rang (A) = Rang (A|b) = Anzahl der Unbekannten. D.h. genau eine Lösung.

Es gibt den Fall, dass der Rg (A) = Rg (A|b) < Anzahl der Unbekannten nicht. D.h. mehr als eine Lösung gibt es nicht.

 

Ergänzt nach Lösungshinweis:

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Hallo,

du hast leider einen kleinen Rechenfehler gemacht. 

$$ \left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & a+1 \\ 0 & a+1 & 1 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{matrix} \right)  $$

Wenn wir jetzt zu der dritten Zeile das \( -(a+1)\)-fache der zweiten Zeile addieren, erhalten wir

$$ \left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & a+1 \\ 0 & a+1 + (-(a+1)) & 1 + (-(a+1))^2 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ -1 + (a+1) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & a+1 \\ 0 & 0 & -a^2 -2a \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ a \end{matrix} \right)  $$

Deine weiteren Gedanken waren aber richtig, also versuche es nochmal hiermit.

Grüße Christian

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Wenn ich von hier aus weitermache, dann komme ich bei
1) a=0 auf beliebig viele Lösungen (Rg(A)=2, Rg(A/b)=2)
2) a=1 auf genau eine Lösung (Rg(A)=3, Rg(A/b)=3)
1) a=2 auf keine Lösung (Rg(A)=2, Rg(A/b)=3)

Oder muss 2) genauer heißen, für alle a ungleich 0 oder 2?   ─   adrian142 17.10.2019 um 16:22
zur 3) das LGS hat keine Lösung für \( -2 \)
$$ -(-2)^2 -2 \cdot (-2) = -4 +4 = 0 $$
Und ja genau bei der 2) musst du dann schreiben für alle reellen Zahlen, außer \( 0 \) und \(-2\). Formal schreibt man
$$ a \in \mathbb{R} \backslash \{ -2,0 \} $$

Grüße Christian   ─   christian_strack 18.10.2019 um 15:07

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Hallo,

die ist jetzt schon akzeptiert. Da wird wohl niemand mehr gucken. Ich beiße mir an der seit gestern die Zähne aus. Wo liegt mein Fehler?

Mal abgesehen von a=0, habe ich hier immer nur eine Lösung. Die aber falsch ist wenn ich die Probe mache.

\( 2-\frac{2}{a}-\frac{1}{a}-(-\frac{1}{a})=2-\frac{2}{a}\neq 2 \)

\( 2-\frac{2}{a}+a\frac{1}{a}=2-\frac{2}{a}+1\neq 1 \)

\( 2-\frac{2}{a}-a\frac{1}{a}=2-\frac{2}{a}-1\neq 1 \)

 

Wo ist mein Fehler?

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Schau ich mir mal an.
Womit Schreibst Du hier die Formeln "so schön" rein?   ─   adrian142 19.10.2019 um 13:16
LaTex. mit "Backslash"( einleiten und mit "Backslash") abschließen.   ─   stehgold 19.10.2019 um 13:18
Irgendwie bist du bei den Umformungen wohl "falsch" abgebogen".
Schau mal bei mir, hab es in meine Aufgabenstellung reinkopiert.
Nicht schön, aber kurz. ;)   ─   adrian142 19.10.2019 um 13:23
Und dann kombiniert hiermit:
https://www.youtube.com/watch?v=4zG3a9N6pOs   ─   adrian142 19.10.2019 um 13:25
Ist Deine dritte Zeile nicht falsch? (in der b-Spalte)
\( -1+(-(a+1))=-1+(-a-1)=-a-2 \)   ─   stehgold 19.10.2019 um 13:35
b-Spalte: a+1
Addieren des -(a+1)-fachen --> -a-1
Ergebnis für b-Spalte: 0   ─   adrian142 19.10.2019 um 13:38
Ja, das war -1. Aber das ist noch nicht die TNF. Da ist noch -1 in Zeile 1 über der 1 in Zeile 2.   ─   stehgold 19.10.2019 um 13:39
Dass Du die TNF ermitteln musst, steht ja auch nicht in der Aufgabenstellung.
Und Gauß erfordert keine "0" an all den Stellen, an denen die TNF "0"en erfordert. Sonderen eben nur unten links.   ─   adrian142 19.10.2019 um 13:41
Jo, unser Skript sagt dass der Rang einer Matrix gleich der Anzahl ihrer Pivot-Positionen ist. Allerdings: Wenn man eine untere Dreiecksmatrix hat, dann kriegt man damit auch die Pivot-Positionen hin. Da kann man dann in Abhängigkeit von a prüfen wieviele man bekommt und wie sich die Ränge von A und Ab verhalten.

Trotzdem juckt es mich, dass ich es nicht hinbekomme diese Matrix in TNF zu bekommen.   ─   stehgold 19.10.2019 um 13:53
Hallo,

dein Fehler ist der Schritt von der 5.ten zur 6ten Matrix. Du veränderst in der dritten Zeile von einer Eins das Vorzeichen.
$$ (\begin{matrix} 0 & 1 & -1 & \vert & 0 \end{matrix} ) \to (\begin{matrix} 0 & -1 & -1 & \vert & 0 \end{matrix}) $$
Wenn du dann von der 6ten zur 7ten Matrix gehst, ensteht durch das umgekehrte Vorzeichen ein \( a+2 \) anstatt ein \( a \). Wenn du dann \( a = -2 \) setzt, entsteht dort eine Nullzeile, aber das Ergebnis dieser Zeile ist nicht gleich Null. Also existiert dann keine Lösung für \( a= -2 \).

Ich hoffe du verstehst wo genau ich meine, ansonsten schreibe ich dir gerne nochmal die komplette Matrix auf.

Grüße Christian   ─   christian_strack 19.10.2019 um 16:11
Hallo,
eigentlich sind es ja immer die Vorzeichen. Ich habe gerade einen neuen aufgemacht mit einer anderen Umformung. Der geht auch nicht auf. :)   ─   stehgold 19.10.2019 um 16:13
Ja meistens :D
Ich gucke sofort mal rein :)   ─   christian_strack 19.10.2019 um 16:15
Jetzt habe ich es ENDLICH. Hast Du dasselbe Ergebnis? Keine oder mehrere Lösungen, genau eine gibt es nicht. Ich habe halt eine Einheitsmatrix und a in der Lösung. Und a darf alles außer -2 sein.   ─   stehgold 19.10.2019 um 17:34
Hmmm… Ich habe:
1) a=0: beliebig viele Lösungen (Rg(A)=2, Rg(A/b)=2)
2) a=1: genau eine Lösung (Rg(A)=3, Rg(A/b)=3) und auch für alle a ungleich 0 oder -2
3) a=-2: keine Lösung (Rg(A)=2, Rg(A/b)=3)   ─   adrian142 19.10.2019 um 18:05

a) Wie bist Du auf die a's gekommen. Undb) Zeile 2 ist ein Widerspruch. Für a=1 und alle a ungleich 0 oder -2 sind dann unendlich viele Lösungen.-2 habe ich auch, das wäre teilen durch 0.
Dann wären wir einer Meinung. Alle R ohne -2 = viele, -2 = keine Lösung.
   ─   stehgold 19.10.2019 um 18:08

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