Hallo,

ich bin mir nicht sicher ob ich dich mittlerweile richtig verstehe, aber ich denke mit \( \textbf{x} \in \mathbb{R}^n \) ist ein Vektor gemeint, also

$$ \textbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

Für Vektoren gibt es die sogenannte Komponentenschreibweise. 

In einem \(n\)-dimensionalen Vektorraum haben wir \( n \) Basisvektoren \( e_i \). Wir können nun den Vektor folgendermaßen als Summe darstellen:

$$ \textbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i e_i $$

Daraus würde gelten, dass 

$$ \textbf{x} + \textbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i e_i + \sum_{i=1}^n y_i e_i = \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)e_i $$

Reicht dir das als Antwort?

Grüße Christian