Hallo,

du möchtest die Ungleichung

$$\frac{|x|-1}{x^2-1}\geq\frac{1}{2}$$

lösen. Du kannst die Gleichung umstellen. Ein erster Schritt wäre die Brüche aufzulösen. Dabei musst du aber schon aufpassen! Falls \(x^2>1\) gilt, bleibt das Ungleichheitszeichen stehen, ansonsten dreht es sich um.

Fall 1: \(x^2>1\) führt zu:

$$2|x|-2\geq x^2-1$$

Jetzt kannst du eine Fallunterscheidung machen:

Fall 1a: \(x>1\) führt zu:

$$2x-2\geq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \geq x^2-2x+1$$

Das steht aber im Widerspruch zu \(x>1\), sonst käme

$$0\geq x^2-2x+1=(x-1)^2>0$$

heraus, also \(0>0\). Somit kann dieser Fall nicht eintreten.

Fall 1b: \(x<-1\) führt zu:

$$-2x-2\geq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \geq x^2+2x+1$$

Das steht aber im Widerspruch zu \(x<-1\), sonst käme

$$ 0 \geq x^2+2x+1=(x+1)^2>0$$

heraus, also \(0>0\). Somit kann dieser Fall nicht eintreten. Insbesondere muss \(x^2<1\) gelten, denn \(x=1\) ist verboten, weil du sonst duch Null teilst!

Fall 2: \(x^2<1\) führt zu:

$$2|x|-2\leq x^2-1$$

Für \(0\leq x<1\) folgt:

$$2x-2\leq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \leq x^2-2x+1=(x-1)^2$$

Diese Aussage ist wahr, also sind \(x\in[0,1)\) zugelassen.

Für \(-1< x\leq0\) folgt:

$$-2x-2\leq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \leq x^2+2x+1=(x+1)^2$$

Diese Aussage ist auch wahr, also sind \(x\in(-1,0]\) zugelassen.

Somit ist insgesamt \(x\in(-1,1)\) zulässig für die Ungleichung.

Die \(p\)-\(q\)-Formel bringt dir hier leider nicht so viel. Höchstens eine Aussage dafür, wann deine Ungleichung strikt erfüllt ist.