Lösungsmenge Ungleichung

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Guten Tag,

 

die Aufgabe lautet : bestimmen Sie alle x für die  {|x|-1}/{x^2-1} >= 1/2 in R gilt.

Nun habe ich die Ungleichung umgestellt, sodass sich die pq formel anwenden lässt.

x^2-2*|x|+1 >=0 

Nun zur Frage:

1. Lässt sich diese Ungleichung auf diese Art lösen? Und 

2. Wenn ja, das eigentliche Ergebnis lautet laut wolfram alpha -1 =< x =<1. Nach Anwenden der pq formel komme ich jedoch, da D=0 ist, nur auf eine Lösung x = 1. Gilt dann wegen dem Betrag von x, dass 1 sowie -1 gilt oder ist der Ansatz komplett falsch?

 

Lg

Niklas

 

gefragt vor 7 Monate, 2 Wochen
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asmonox,
Student, Punkte: 2
 
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1 Antwort
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Hallo,

 

du möchtest die Ungleichung

$$\frac{|x|-1}{x^2-1}\geq\frac{1}{2}$$

lösen. Du kannst die Gleichung umstellen. Ein erster Schritt wäre die Brüche aufzulösen. Dabei musst du aber schon aufpassen! Falls \(x^2>1\) gilt, bleibt das Ungleichheitszeichen stehen, ansonsten dreht es sich um.

 

Fall 1: \(x^2>1\) führt zu:

$$2|x|-2\geq x^2-1$$

Jetzt kannst du eine Fallunterscheidung machen:

 

Fall 1a: \(x>1\) führt zu:

$$2x-2\geq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \geq x^2-2x+1$$

Das steht aber im Widerspruch zu \(x>1\), sonst käme

$$0\geq x^2-2x+1=(x-1)^2>0$$

heraus, also \(0>0\). Somit kann dieser Fall nicht eintreten.

 

Fall 1b: \(x<-1\) führt zu:

$$-2x-2\geq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \geq x^2+2x+1$$

Das steht aber im Widerspruch zu \(x<-1\), sonst käme

$$ 0 \geq x^2+2x+1=(x+1)^2>0$$

heraus, also \(0>0\). Somit kann dieser Fall nicht eintreten. Insbesondere muss \(x^2<1\) gelten, denn \(x=1\) ist verboten, weil du sonst duch Null teilst!

 

Fall 2: \(x^2<1\) führt zu:

$$2|x|-2\leq x^2-1$$

Für \(0\leq x<1\) folgt:

$$2x-2\leq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \leq x^2-2x+1=(x-1)^2$$

Diese Aussage ist wahr, also sind \(x\in[0,1)\) zugelassen.

 

Für \(-1< x\leq0\) folgt:

$$-2x-2\leq x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad 0 \leq x^2+2x+1=(x+1)^2$$

Diese Aussage ist auch wahr, also sind \(x\in(-1,0]\) zugelassen.

 

Somit ist insgesamt \(x\in(-1,1)\) zulässig für die Ungleichung.

 

Die \(p\)-\(q\)-Formel bringt dir hier leider nicht so viel. Höchstens eine Aussage dafür, wann deine Ungleichung strikt erfüllt ist. 

geantwortet vor 7 Monate, 2 Wochen
endlich verständlich verified
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